Desafio de Cálculo I - Otimização

Seja p > 0. Considere g : R -> R a função cujo gráfico é a parábola de foco F = (0, p) e
diretriz de equação y = −p.

(a) Determine [latex]\lim_{p\to 0} g''(x)  e  \lim_{p\to \infty } g''(x)[/latex]


(b) Sejam A e B dois pontos do gráfico de g, tais que A está no segundo quadrante, B está no primeiro e o vetor AB (que vai de A a B) é horizontal. Considere um triângulo T de vértices A, O = (0, 0) e B. Suponha que a área do triângulo T é 10 u.a. Qual é o valor de p para que o perímetro do triângulo T seja o menor possível?



Rapazeada, to achando impossível! Nâo consegui de jeito nenhum! Vê se vocês conseguem jogar uma luz. Brigadão, rapazeada! Se cuidem! 

(Clique na imagem para vê-la completamente)

vamo focar só no itm b, se tiver qqr duvida perguntae
Sabemos que do conjunto de triângulos de mesma área A, aquele de menor perímetro é o triangulo equilátero (formula de Heron + ma, mg).

Portanto basta provar que existe p tal que AOB é equilátero. Ora, basta tomar 
[latex]p=\frac{1}{40}\cdot\left(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}\right)^{3}[/latex].
A equação da parábola é 
[latex]y=\frac{x^2}{4p}[/latex]
Então se o ponto A é [latex]\left(-m, \frac{m^2}{4p}\right)[/latex] e B é [latex]\left(m, \frac{m^2}{4p}\right)[/latex], com m>0, temos que a área do triangulo AOB é
[latex]\frac{1}{2}\cdot 2m\cdot \frac{m^2}{4p}=10[/latex]
então
[latex]m=\sqrt[3]{40p}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}[/latex]

Assim 
[latex]\tan {\angle BAO}=\frac{m}{m^2/(4p)}=\frac{4p}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]
e portanto [latex]\angle BAO=60^\circ[/latex]. Analogamente [latex]ABO=60^\circ[/latex] e então ABO é equilátero, que é o que queríamos.