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Cálculo 1(otimização)

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Cálculo 1(otimização) Empty Cálculo 1(otimização)

Mensagem por guilherme.mendonca5088 Dom 20 Jun - 8:28

Mostre que:
a)  dentre todos os triângulos de mesma área, o triângulo equilátero tem o menor perímetro;
b) dentre todos os triângulos de mesmo perímetro, o equilátero possui a maior área;
Achei a solução desse problema com um argumento geométrico. Gostaria de saber como resolvo usando técnicas de derivação.

guilherme.mendonca5088
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Cálculo 1(otimização) Empty Re: Cálculo 1(otimização)

Mensagem por SilverBladeII Dom 20 Jun - 19:33

Bom, é possível fazer facilmente utilizando desigualdades elementares (cauchy schwarz, MA, MG, etc), mas tbm é possivel fazer usando tecnicas de calculo... mas não é tão simples assim e tão pouco envolve assuntos de calc 1. Aq vai:

Ao longo da nossa solução, vamos ser um pouco menos restritos e vamos considerar a possibilidade de triângulos com possivelmente alguns lados de tamanho 0.

a) Para um triangulo de lados a, b, c, pelas transformações de Ravi, existem reais não negativos r, s, t tais que a=r+s, b=r+t, c=s+t. Pela fórmula de Heron, temos
[latex]\sqrt{rst(r+s+t)}=A[/latex]. Defina A²=c, então
[latex]rs\cdot t^2 +t(r^2s+rs^2)-c=0[/latex] e, portanto
[latex]t(r, s)=\frac{-rs(r+s)+\sqrt{r^4s^2+r^2s^4+2r^3s^3+4rsc}}{2rs}[/latex].

O perimetro do triangulo, então, será
[latex]\begin{align*}p(r, s)&=2(t(r, s)+r+s)\\&=2(r+s)+\frac{-rs(r+s)+\sqrt{r^4s^2+r^2s^4+2r^3s^3+4rsc}}{rs}\\&=r+s+\sqrt{r^2+s^2+2rs+\frac{4c}{rs}}\end{align*}[/latex]

Fazendo [latex]\nabla p(r, s)=0[/latex], temos
[latex]\left(\frac{\partial p}{\partial r}, \frac{\partial p}{s} \right)=(0, 0)[/latex],

[latex]\begin{align*}
\frac{\partial p}{\partial r}=1+\frac{2r+2s-\frac{4c}{r^2s}}{2\sqrt{r^2+s^2+2rs+\frac{4c}{rs}}}&=0\\
\implies \sqrt{r^2+s^2+2rs+\frac{4c}{rs}}+r+s-\frac{2c}{r^2s} &=0
\end{align}[/latex]

Analogamente
[latex]\begin{align*}
\frac{\partial p}{\partial s}=1+\frac{2r+2s-\frac{4c}{rs^2}}{2\sqrt{r^2+s^2+2rs+\frac{4c}{rs}}}&=0\\
\implies \sqrt{r^2+s^2+2rs+\frac{4c}{rs}}+r+s-\frac{2c}{rs^2} &=0
\end{align}[/latex]

Das duas equações, podemos observar 
[latex]\frac{2c}{rs^2}=\frac{2c}{r^2s}\implies r=s[/latex]

Substuindo,
[latex]\begin{align*}
\sqrt{4r^2+\frac{4c}{r^2}}+2r-\frac{2c}{r^3}&=0\\
\implies 4r^2+\frac{4c}{r^2}=\left(2r-\frac{2c}{r^3}\right)^2&=4r^2+\frac{4c^2}{r^6}-\frac{8c}{r^2}\\
\implies \frac{12c}{r^2}&=\frac{4c^2}{r^6}\\
\implies c&=3r^4\\
\implies r=s&=k
\end{align*}[/latex]

onde definimos [latex]k=\sqrt[4]{\frac{c}{3}}[/latex]

E substituindo tudo em t(r, s), obtemos t=k

Agora o Hessiano de p no ponto (k, k):

[latex]\det\begin{pmatrix}p_{rr}(k, k) & p_{rs}(k, k)\\ p_{sr}(k, k) & p_{ss}(k, k)\end{pmatrix}=\frac{
27}{4k^2}>0
[/latex]

e p_{rr}=3/k>0, então (k, k) é mínimo.
Mas como todos os lados são iguais, o triângulo é equilátero.


b) Seja 2p o perímetro fixo. Novamente pelas transformações de Ravi, p=r+s+t. Então t(r, s)=p-r-s, com domínio D={(r, s): r≥0, s≥0 e r+s≤p} (claramente um conjunto fechado e limitado)
Então o quadrado da área é dada por (por heron)
[latex]f(r, s)=A^2(r, s)=rst(r+s+t)=prs(p-r-s)[/latex], definido em D. Como D é fechado e limitado e f é claramente continua, tem minimo e máximo global em D. 

Novamente, 
[latex]\begin{align*}
\nabla f &=0\\
\implies \left(p^2s-2prs-ps^2, p^2r-pr^2-2prs\right)&=(0,0)
\end{align*}[/latex]
De forma que
[latex]\begin{cases}ps-2rs-s^2=0\\pr-2rs-r^2=0\end{cases}\implies r=s=k[/latex]
[latex][/latex]
Substituindo, 
[latex]p\cdot k-2\cdot k \cdot k -k^2=0\implies p=3k,[/latex]
Novamente substituindo em t(r, s), obtemos t(k, k)=k.

Hessiano de f:
[latex]\det\begin{pmatrix}f_{rr}(k, k) & f_{rs}(k, k)\\ f_{sr}(k, k) & f_{ss}(k, k)\end{pmatrix}=27k^4>0[/latex]
e [latex]f_{rr}(kk)=-6k^2<0[/latex]
Na fronteira r=0, temos f=0, se s=0 então f=0 e se r+s=p, f=0. Portanto (k, k) é máximo global de f. Ora, todos os lados são iguais, então o triângulo é equilatero.
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Mensagem por guilherme.mendonca5088 Dom 20 Jun - 19:58

Esse exercício foi tirado de uma lista de cálculo 1. Então, não tem como resolver o problema maximizando uma função de apenas uma variável? Também pensei dessa forma, mas não respondi porque eu acho que o professor não vai aceitar. De qualquer forma, agradeço a solução, muito organizada e didática.

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Cálculo 1(otimização) Empty Re: Cálculo 1(otimização)

Mensagem por SilverBladeII Dom 20 Jun - 20:01

obrigado

hmm, vou pensar um pouco se dá pra reduzir pra uma variável
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Cálculo 1(otimização) Empty Re: Cálculo 1(otimização)

Mensagem por SilverBladeII Dom 20 Jun - 20:21

Tive uma ideia que acho que dá certo.
para  item a), se fixarmos o triangulo com base a, o lugar geométrico dos vértices de cima dos triangulos de mesma área é uma reta paralela à base fixado numa distancia h=A/a, onde A é a área dada.
Calculando o perímetro e usando derivadas, a gente descobre que de todos os triangulos aqueles de menor área é o isósceles.
Agora a gente pode variar a base, mas agr considerando somente os triangulos isósceles (pq a gente já sabe que eles tem o menor perímetro dentro do seu tipo). Aí calculando o perimetro de novo em função da base variavel e usando derivadas, descobre que o triangulo de menorperímetro é o equilátero.

O item b) é parecido, mas agr, fixando a base a, o lg dos vertices dos triangulos forma uma elipse de eixo maior (2p-a), onde 2p é o perímetro fixado. De novo mostra que o de maior área é o isósceles e então considera todos os isósceles agr com a base variando. De novo usando derivada descobre que o de maior área é o equilátero.

é um trampo do caramba se vc n entender falaê
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Mensagem por guilherme.mendonca5088 Seg 21 Jun - 6:34

Não entendi. Poderia esclarecer melhor, com mais detalhes? Os dois itens.

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Cálculo 1(otimização) Empty Re: Cálculo 1(otimização)

Mensagem por SilverBladeII Seg 21 Jun - 20:37

Ok, vou escrever melhor.

a)
Lema 1: Para todo triangulo, existe algum triangulo isósceles de mesma área e perímetro menor ou igual ao perímetro do triangulo original.

Prova: Fixada a área S, suponha que o triângulo ABC tenha base AB=2a. Construindo um sistema cartesiano tal que A=(-a, 0) e B=(a, 0), temos que a altura do triangulo relativo a base AB é h=S/a, de forma que C=(m, h), para algum real m. 
Ora, para qualquer ponto X na reta y=h, o triangulo ABX tem a mesma área de ABC (de fato, tem mesma base AB=2a e altura h).
Vamos encontra qual desses pontos X minimiza o perímetro do triangulo ABX (É importante perceber que C está na reta e portanto a itimização vai levar o C em consideração). Sendo X=(x, h), para algum real x, 
[latex]p(ABX)=AB+AX+BX=2a+\sqrt{(x+a)^2+h^2}+\sqrt{(x-a)^2+h^2}[/latex].
Assim,
[latex]\begin{align*}p'(x)&=\frac{x+a}{\sqrt{(x+a)^2+h^2}}+\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+h^2}}\\
&=0\\
\implies \frac{x+a}{\sqrt{(x+a)^2+h^2}}&=\frac{a-x}{\sqrt{(x-a)^2+h^2}}\\
\implies (x+a)\sqrt{(x-a)^2+h^2}&=(a-x)\sqrt{(x+a)^2+h^2}\\
\implies (x+a)^2((x-a)^2+h^2)&=(a-x)^2((x+a)^2+h^2)\\
\implies (x+a)^2&=(x-a)^2
\end{align*}[/latex]
e é fácil ver que a única opção é x+a=a-x, de modo que x=0.
Além disso,
[latex]p''(0)>0[/latex], de forma que 0 é minimo da função.

Ora, [latex]ABX_0[/latex], onde [latex]X_0=(0, h)[/latex] é isósceles, e portanto o nosso lema está provado.

Esse lema mostra que o triangulo que minimiza o perimetro tem que ser isósceles, do contrario, existiria outro triangulo de perimetro menor, o que é um absurdo.
Assim, para fazermos o item a), basta considerarmos todos os triângulos isósceles de mesma área S.
Se o triangulo ABC(x) tem base AB=2x e o posicionarmos tal que A(x)=(-x, 0) e B(x, 0), então C(x)=(0, S/x).
Seu perímetro será
[latex]p(ABC(x))=p(x)=2x+\sqrt{x^2+\frac{S^2}{x^2}}+\sqrt{x^2+\frac{S^2}{x^2}}=2x+2\sqrt{x^2+\frac{S^2}{x^2}}[/latex]

Então 
[latex]\begin{align*}
p'(x)&=2+\frac{2x-2S^2/x^3}{\sqrt{x^2+S^2/x^2}}\\
&=0\\
\implies \sqrt{x^2+\frac{S^2}{x^2}}&=\frac{S^2}{x^3}-x\\
\implies x^2+\frac{S^2}{x^2} &= \frac{S^4}{x^6}-2\frac{S^2}{x^2}+x^2\\
\implies x=\sqrt[4]{\frac{S^2}{3}},
\end{align*}[/latex]

Como [latex]p''\left(\sqrt[4]{\frac{S^2}{3}}\right)>0[/latex], então esse ponto minimiza a função.
Perceba que, nesse caso, 
[latex]\begin{align*}\tan(BAC)&=\tan(OAC)\\
&=\frac{CO}{AO}\\
&=\frac{A/x}{x}\\
&=\frac{A}{x^2}\\
&=\sqrt{3}
\end{align*}[/latex]
de modo que BAC=60. Etão o triangulo é equilátero e portanto o triangulo equilátero minimiza o perimetro do conjunt de triangulos de mesma área.


b)
Lema 2: Para todo triangulo, existe algum triangulo isósceles de mesmo perímetro e maior área.


Prova: Suponha que o triangulo ABC tenha base 2c e perímetro 2p=2c+2a, para algum real positivo 2a, e tal que A=(-c, 0) e B=(c, 0).
Considere então a elipse de focos A, B e semieixo maior de tamanho a e semieixo menor [latex]b=\sqrt{a^2-c^2}[/latex]. Todo ponto X sobre tal elipse é tal que o triangulo ABX tem mesmo perímetro que ABC (propriedade fundamental das elipses).
É claro que a elipse tem equação [latex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/latex].
Por simetria, podemos considerar somenete a parte positiva do eixo y, de modo que se X=(x, y), com [latex]y \geq 0[/latex], temos que
[latex]y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}[/latex].
Assim, a área do triangulo ABX é 
[latex]\frac{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\cdot (2a)}{2}=b\sqrt{a^2-x^2}[/latex]

O resto vai ficar como exercicio: Otimiza a área do triangulo ABX (percebendo também que C está na elipse, e então o C será levado em consideração na otimização) e descubra que o de maior área é o isósceles, a partir disso o resto é parecido com o item a), basta considerar o conjunto de isósceles de mesmo perimetro, otimiza em função da base e descobre que aquele de maior área é o equilátero.
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