Números "Tricúbicos"

(Maio-99) Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.




Resposta: (370, 371)

Seja o número (abc)=100a+10b+c=a³+b³+c³
-1<(a,b,c)<10 e (a,b,c)∈N

Como queremos queremos dois pares consecutivos:
100a+10b+c=a³+b³+c³
100a+10b+c+1=a³+b³+(c+1)³

Diminuindo uma equação da outra, chegamos em:
1=3c²+3c+1
c=0 ou c=-1
Como sabemos que "c" precisa estar entre 0 e 9, o único valor de "c" que vale é c=0.

Dessa forma temos:
100a+10b=a³+b³

100a+10b é múltiplo de 10, portanto deve ter o algarismo das unidades igual a 0.

Sabemos:
1³=1          5³=125    9³=729
2³=8          6³=216
3³=27        7³=343
4³=64        8³=512

Os a³ e b³ que serão somados devem resultar em um múltiplo de 10, são possíveis as seguintes somas:

1³+9³=730 (I)
2³+8³=520 (II)
3³+7³=370 (III)
4³+6³=280 (IV)
5³+5³=250 (V)

(I): 100+90 e 900+10 são diferentes de 730
(II): 200+80 e 800+20 são diferentes de 520
(III): 300+70=370, 700+30 é diferente de 370
(IV): 400+60 e 600+40 são diferentes de 280
(V): 500+50 é diferente de 250

Portanto, o único par de números tricúbicos de 3 algarismos é (370, 371)