Números cúbicos - Teoria dos Números

por Perceval Ter 30 Mar 2021, 18:59

Mostrar que para nenhum n [latex]\in \mathbb{N}, 2^{n}+1[/latex] é um cubo.

por **Elcioschin** Ter 30 Mar 2021, 19:14

Hipótese ---> 2ⁿ + 1 = (a + b)³ ---> a, b ∈ N

2ⁿ + 1 = a³ + b³ + 3.a.b.(a + b) ---> Duas possibilidades:

1) a³ + b³ = 1 ---> a = 0 e b = 1 ou a = 1 e b = 0

2ⁿ = 1.0.(1 + 0) ---> 2ⁿ = 0 ---> impossível

2) 3.a.b.(a + b) = 1 ---> impossível, para qualquer a, b a, b ∈ N

Logo a hipótese é falsa ---> Não existe n que atenda

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