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[Teoria dos números] Números perfeitos

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Mensagem por superaks Qua 29 Nov 2017, 18:03

Um inteiro positivo n é chamado perfeito se a soma de todos os seus divisores excluindo n, é igual a n. Prove que um número perfeito maior do que 28 é divisível por 7 então ele é divisível por 49.
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[Teoria dos números] Números perfeitos Empty Re: [Teoria dos números] Números perfeitos

Mensagem por fantecele Seg 04 Dez 2017, 11:09

Irei separar no caso para n par e n ímpar:

n par:

Se n é um número perfeito par então n é da forma "  " sendo que " " é primo.
Perceba que 7 é primo, portanto 2^k - 1 = 7 → k = 3 → n = 28, n com esse valor não serve, pois n > 28.

Agora vamos fazer para o caso de n ímpar.

Irei chamar a soma dos divisores positivos de um número n igual a s(n):



O exercício nos disse que um número para ser perfeito devemos ter a soma dos seus divisores excluindo n igual a n, portanto:
n = s(n) - n → s(n) = 2n

Agora vamos mostrar por absurdo.

n é divisível por 7 e não por 49:
Vamos fazer p1 = 7, teremos que s(n) = (1 + 7).X = 8X
s(n) = 8X = 2n → n = 4k
Com isso chegamos que n é um número par, porém isso é um absurdo pois n é ímpar, dessa forma concluímos que se n é perfeito divisível por 7 então ele também é divisível por 49.

Bem, eu acho que é isso ai, qualquer dúvida é só perguntar.

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[Teoria dos números] Números perfeitos Empty Re: [Teoria dos números] Números perfeitos

Mensagem por superaks Seg 04 Dez 2017, 14:29

Eu não imaginei que daria para para provar dividindo em casos para n ímpar e n par por não conhecermos nada sobre números perfeitos ímpares. 

Gostei muito da resolução, valeu !
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