Teoria dos números OBM
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Teoria dos números OBM
por João Gabriel1 Sáb 08 Ago 2020, 10:36
Seja N=8^8^8^8.....^8 em que aparecem 2009 números 8. Agilulfo ficou de castigo. Ele deve escrever a soma dos dígitos de N obtendo um número M, em seguida, deve calcular a soma dos dígitos de M e deve repetir o procedimento até obter um número de um único dígito, esse dígito é? OBs, os oitos são um expoente do outro, Gabarito 1
Última edição por João Gabriel1 em Sáb 15 Ago 2020, 09:05, editado 1 vez(es)
João Gabriel1- Padawan
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Re: Teoria dos números OBM
por fantecele Sáb 08 Ago 2020, 21:35
Eu acho que seria só aplicar mod 9, porque tipo, você pode ver que, sendo "a" um número entre 1 e 9, então:
=a.(9.111...11+1) "\\a000...00=a.1000...00=a.(999...99+1)=a.(9.111...11+1)")
Aplicando mod 9:
 "\\a000...00=a\,(\text{mod}\,\,9)")
Utilizando essa ideia, para um número da forma abc, por exemplo, vamos ter que:
 "\\abc=a00+b0+c\\abc\equiv a+b+c\,(\text{mod}\,\,9)")
Então para o N = 8^8^8...^8, ao fazer todas essas potências vamos chegar num número qualquer tipo abc...a'b', sendo a um número entre 1 e 9 e b,c,a',b' números entre 0 e 9, então aplicando mod 9 nele vamos chegar que N é congruente a "a+b+c+...+a'+b'" mod 9, ou seja:
 "\\N=8^{8^{...^8}}\equiv M\,(\text{mod}\,\,9)")
Já que "a+b+c+...+a'+b'" = M pelo enunciado. Então aplicando mod 9 para o M vamos encontrar a soma dos dígitos de M e aplicando mod 9 de novo vamos encontar uma nova soma para os digitos, e sucessivamente vamos encontrar o número "a", com "a" entre 0 e 9 (esse é o nosso número de um único dígito). Lembre que:
%5Ctext%7B&space;e&space;%7Dy%5Cequiv&space;z%5C,(%5Ctext%7Bmod%7D%5C,%5C,t)%5CRightarrow&space;x%5Cequiv&space;z%5C,(%5Ctext%7Bmod%7D%5C,%5C,t) "\\x\equiv y\,(\text{mod}\,\,t)\text{ e }y\equiv z\,(\text{mod}\,\,t)\Rightarrow x\equiv z\,(\text{mod}\,\,t)")
Então nós podemos ir usando essa relação e chegar em:
 "\\N\equiv a\,(\text{mod}\,\,9)")
Porém:
%5E%7B8%5E%7B...%5E8%7D%7D%5C,(%5Ctext%7Bmod%7D%5C,%5C,9)%5C%5CN%5Cequiv&space;1%5C,(%5Ctext%7Bmod%7D%5C,%5C,9) "\\N=8^{8^{...^8}}\equiv (-1)^{8^{...^8}}\,(\text{mod}\,\,9)\\N\equiv 1\,(\text{mod}\,\,9)")
E então:
 "\\a=1\,(\text{mod}\,\,9)")
Desde que "a" é um número entre 0 e 9 e 1 é obviamente entre 0 e 9, nesse caso só podemos ter "a" igual a 1, então depois de todos os processos de somar os dígitos dos números vamos chegar no resultado 1.
Aplicando mod 9:
Utilizando essa ideia, para um número da forma abc, por exemplo, vamos ter que:
Então para o N = 8^8^8...^8, ao fazer todas essas potências vamos chegar num número qualquer tipo abc...a'b', sendo a um número entre 1 e 9 e b,c,a',b' números entre 0 e 9, então aplicando mod 9 nele vamos chegar que N é congruente a "a+b+c+...+a'+b'" mod 9, ou seja:
Já que "a+b+c+...+a'+b'" = M pelo enunciado. Então aplicando mod 9 para o M vamos encontrar a soma dos dígitos de M e aplicando mod 9 de novo vamos encontar uma nova soma para os digitos, e sucessivamente vamos encontrar o número "a", com "a" entre 0 e 9 (esse é o nosso número de um único dígito). Lembre que:
Então nós podemos ir usando essa relação e chegar em:
Porém:
E então:
Desde que "a" é um número entre 0 e 9 e 1 é obviamente entre 0 e 9, nesse caso só podemos ter "a" igual a 1, então depois de todos os processos de somar os dígitos dos números vamos chegar no resultado 1.
fantecele- Fera
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