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Teoria dos números divisibilidade

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Resolvido Teoria dos números divisibilidade

Mensagem por João Gabriel1 Sab 15 Ago 2020, 08:25

Prove que 46^2n+1 + 296× 13^2n+1 é divisível por 1947


Última edição por João Gabriel1 em Sex 21 Ago 2020, 09:24, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Teoria dos números divisibilidade

Mensagem por fantecele Sab 15 Ago 2020, 13:07

Vou considerar que os números estão elevados a 2n+1, sem os parênteses fica meio estranho entender kkk
Mas vamos lá, primeiramente veja que 1947 = 3.11.59, então basta mostrar que esse número é divisível por 3, por 11 e por 59.
Primeiramente para o 3, temos que:

gif.latex?\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv&space;1^{2n+1}+2.1^{2n+1}\,(\text{mod&space;}3)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv&space;3\,(\text{mod&space;}3)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv0\,(\text{mod&space;}3)

Portanto ele é divisível por 3.
Para o 11, temos que:

gif.latex?\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv&space;2^{2n+1}+10.2^{2n+1}\,(\text{mod&space;}11)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv&space;11.2^{2n+1}\,(\text{mod&space;}11)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv0\,(\text{mod&space;}11)

Portanto ele é divisível por 11.
Para o 59, temos que:

gif.latex?\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv&space;(-13)^{2n+1}+1.13^{2n+1}\,(\text{mod&space;}59)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv&space;-13^{2n+1}+13^{2n+1}\,(\text{mod&space;}59)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv0\,(\text{mod&space;}59)

Portanto ele é divisível por 59.
Desde que ele é divisível por 3, por 11 e por 59 e esses números são 2 a 2 primos entre si, então ele é divisível por 3.11.59 = 1947.

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