Teoria dos números divisibilidade
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Teoria dos números divisibilidade
por João Gabriel1 Sáb 15 Ago 2020, 09:25
Prove que 46^2n+1 + 296× 13^2n+1 é divisível por 1947
Última edição por João Gabriel1 em Sex 21 Ago 2020, 10:24, editado 1 vez(es)
João Gabriel1- Padawan
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Re: Teoria dos números divisibilidade
por fantecele Sáb 15 Ago 2020, 14:07
Vou considerar que os números estão elevados a 2n+1, sem os parênteses fica meio estranho entender kkk
Mas vamos lá, primeiramente veja que 1947 = 3.11.59, então basta mostrar que esse número é divisível por 3, por 11 e por 59.
Primeiramente para o 3, temos que:
%5C%5C46%5E%7B2n+1%7D+296.13%5E%7B2n+1%7D%5Cequiv&space;3%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D3)%5C%5C46%5E%7B2n+1%7D+296.13%5E%7B2n+1%7D%5Cequiv0%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D3) "\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv 1^{2n+1}+2.1^{2n+1}\,(\text{mod }3)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv 3\,(\text{mod }3)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv0\,(\text{mod }3)")
Portanto ele é divisível por 3.
Para o 11, temos que:
%5C%5C46%5E%7B2n+1%7D+296.13%5E%7B2n+1%7D%5Cequiv&space;11.2%5E%7B2n+1%7D%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D11)%5C%5C46%5E%7B2n+1%7D+296.13%5E%7B2n+1%7D%5Cequiv0%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D11) "\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv 2^{2n+1}+10.2^{2n+1}\,(\text{mod }11)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv 11.2^{2n+1}\,(\text{mod }11)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv0\,(\text{mod }11)")
Portanto ele é divisível por 11.
Para o 59, temos que:
%5E%7B2n+1%7D+1.13%5E%7B2n+1%7D%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D59)%5C%5C46%5E%7B2n+1%7D+296.13%5E%7B2n+1%7D%5Cequiv&space;-13%5E%7B2n+1%7D+13%5E%7B2n+1%7D%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D59)%5C%5C46%5E%7B2n+1%7D+296.13%5E%7B2n+1%7D%5Cequiv0%5C,(%5Ctext%7Bmod&space;%7D59) "\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv (-13)^{2n+1}+1.13^{2n+1}\,(\text{mod }59)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv -13^{2n+1}+13^{2n+1}\,(\text{mod }59)\\46^{2n+1}+296.13^{2n+1}\equiv0\,(\text{mod }59)")
Portanto ele é divisível por 59.
Desde que ele é divisível por 3, por 11 e por 59 e esses números são 2 a 2 primos entre si, então ele é divisível por 3.11.59 = 1947.
Mas vamos lá, primeiramente veja que 1947 = 3.11.59, então basta mostrar que esse número é divisível por 3, por 11 e por 59.
Primeiramente para o 3, temos que:
Portanto ele é divisível por 3.
Para o 11, temos que:
Portanto ele é divisível por 11.
Para o 59, temos que:
Portanto ele é divisível por 59.
Desde que ele é divisível por 3, por 11 e por 59 e esses números são 2 a 2 primos entre si, então ele é divisível por 3.11.59 = 1947.
fantecele- Fera
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