Teoria dos Números - Divisibilidade (?)

Provar que para todo n ∈ ℕ,  [latex]3^{2n+1}[/latex]+[latex]2^{n+2}[/latex]é múltiplo de 7 e que [latex]3^{2n+2}+2^{6n+1}[/latex]é múltiplo de 11.

I) Primeira equação:

Veja que:

[latex]3^{2\cdot 0+1} + 2^{0 + 2} = 3 + 4 = 7[/latex]


[latex]3^{2\cdot 1+1} + 2^{1 + 2} = 27 + 8 = 35[/latex]



Logo, vamos supor por indução que:

[latex]7 | \left (3^{2\cdot n+1} + 2^{n + 2} \right )[/latex]


[latex]3^{2\cdot n+1} + 2^{n + 2} \equiv 0 \left ( mod \; 7 \right )[/latex]



Provando para n + 1, temos:

[latex]3^{2\cdot (n+1)+1} + 2^{(n+1) + 2} \equiv k \left ( mod \; 7 \right )[/latex]


[latex]9\cdot 3^{2\cdot n+1} + 2\cdot 2^{n + 2} \equiv k \left ( mod \; 7 \right )[/latex]


[latex]\begin{matrix} 9\cdot 3^{2\cdot n+1} + 2\cdot 2^{n + 2} \equiv k \left ( mod \; 7 \right ) \\ 5\cdot 3^{2\cdot n+1} + 5\cdot 2^{n + 2} \equiv 0 \left ( mod \; 7 \right ) & + \\ -------------- \\ 14\cdot 3^{2\cdot n+1} + 7\cdot 2^{n + 2} \equiv k \left ( mod \; 7 \right ) \end{matrix} [/latex]


[latex]7\cdot \left (2\cdot 3^{2\cdot n+1} + \cdot 2^{n + 2} \right ) \equiv k \left ( mod \; 7 \right )[/latex]


[latex]0 \equiv k \left ( mod \; 7 \right )[/latex]


[latex]k \equiv 0 \left ( mod \; 7 \right ) \Rightarrow 3^{2\cdot (n+1)+1} + 2^{(n+1) + 2} \equiv 0 \left ( mod \; 7 \right )[/latex]



Logo,

[latex]7 | \left (3^{2\cdot n+1} + 2^{n + 2} \right ),\; \forall n\epsilon \mathbb{N}[/latex]


II) Tenta fazer o segundo com mesma ideia, se não conseguir avisa que eu posto.

Para a primeira:
[latex]\begin{align*}
3^{2n+1}+2^{n+2} &\equiv 3\cdot 3^{2n}+4\cdot 2^n\\
&\equiv 3\cdot 9^n+4\cdot 2^n\\
&\equiv 3\cdot 2^n+4\cdot 2^n\\
&\equiv 7\cdot 2^n \\
&\equiv 0 \pmod{7}
\end{align*}[/latex]

Para a segunda:
[latex]\begin{align*}
3^{2n+2}+2^{6n+1} &\equiv 9\cdot 3^{2n}+2\cdot 2^{6n}\\
&\equiv 9\cdot 8^{2n}+2\cdot 2^{6n}\\
&\equiv 9\cdot 2^{6n}+2\cdot 2^{6n}\\
&\equiv 11\cdot 2^{6n}\\
&\equiv 0 \pmod{11}
\end{align*}[/latex]