Complexos módulo e argumento

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: 
(1 + cosθ) + i.senθ

Simplifique e chegue em Z = R + i.I

|Z| = √(R² + I²)


Arg (Z) = arctg(I/R)

Outra saída:

[latex]w=\frac{1+cos\theta+isen\theta }{1+cos\theta-isen\theta} = \frac{1+cis\theta}{1+cis(-\theta)} = \frac{cis\frac{(\theta)}{2}*[cis\frac{(-\theta)}{2}+cis\frac{(\theta)}{2}]}{cis\frac{(-\theta)}{2}*[cis\frac{(-\theta)}{2}+cis\frac{(\theta)}{2}]} [/latex]

[latex]\Rightarrow w=cis\theta\:\:\:\:\:\:\therefore \left | w \right | = 1, \: arg(w)=\theta [/latex].

"cis" é cosseno?

Não: cisθ = cosθ + i.senθ

No livro do Caio Guimarães, encontra-se duas identidades muito úteis e fáceis de demonstrar. Lembrando que cos(2x) = 2cos²(x) - 1 = 1 - 2sin²(x):

[latex]2\cos\left( \dfrac{\theta}{2} \right )cis \left(\dfrac{\theta}{2} \right ) = 2\cos^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right ) +2i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right )\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right ) = 1 + cis(\theta) \\ -2i\sin\left( \dfrac{\theta}{2} \right )cis \left(\dfrac{\theta}{2} \right ) =-2i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right )\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right )+ 2\sin^2 \left(\dfrac{\theta}{2}\right ) = 1-cis(\theta) \\ \text{Portanto, } \\ \boxed{1 + cis(\theta) = 2\cos\left( \dfrac{\theta}{2} \right )cis \left(\dfrac{\theta}{2} \right )}\\ \boxed{1 - cis(\theta) = -2i\sin\left( \dfrac{\theta}{2} \right )cis \left(\dfrac{\theta}{2} \right )}\\[/latex]

Usando a primeira, 1 + cis(theta), a resolução fica bastante imediata.