Racionalização

por Matheus Gaspar Seg 04 Fev 2019, 09:26

Calcule: \sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt{3}}

por **Mateus Meireles** Seg 04 Fev 2019, 10:31

Faça x = \sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt{3}}

Então nós temos que

x - \sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt{3}} - \sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt{3}} = 0

Mas sabemos que a + b + c = 0 implica que a³ + b³ + c³ = 3abc

https://pir2.forumeiros.com/t155804-identidades-algebricas

Segue, daí, que

x^3 - \left(2+\frac{10}{9}\sqrt{3}\right) - \left( 2-\frac{10}{9}\sqrt{3} \right) = 3x\sqrt[3]{\left(2+\frac{10}{9}\sqrt{3}\right)\left( 2-\frac{10}{9}\sqrt{3} \right)}

x^3 - 2x -4 = 0

Uma das raízes dessa equação é x = 2, enquanto as outras duas são complexas.

Portanto,

\sqrt[3]{2+\frac{10}{9}\sqrt{3}} + \sqrt[3]{2-\frac{10}{9}\sqrt{3}} = 2

por **Mateus Meireles** Seg 04 Fev 2019, 10:33

Outra solução:

Veja que dentro da raiz cúbica nós temos cubos perfeitos

2+10\frac{\sqrt{3}}{9}=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^3

2-10\frac{\sqrt{3}}{9}=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^3

Daí, substituindo na equação inicial, temos

\sqrt[3]{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^3}+\sqrt[3]{\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^3}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{3}=2

por **Mateus Meireles** Seg 04 Fev 2019, 10:33

Outra solução:

Use a identidade

x = a + b \Rightarrow x^3 = a^3 + b^3 +3ab(a+b) \Rightarrow x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(x)

Outra solução:

Use somas de Newton

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