Identidades algébricas

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Identidades algébricas

Mensagem por Mateus Meireles em Sex 04 Jan 2019, 13:33

Sejam a,b e c números reais tais que a + b + c = 0. Mostre que a3 + b3 + c3 = 3abc

Prova. Mostrando, inicialmente, que (x\pm y)^3 = x^3 \pm y^3 \pm 3xy(x\pm y). Para o caso positivo, sendo o resultado análogo para o negativo, temos:

\begin{align*}
(x+y)^3 &= (x+y)(x+y)^2 = x(x+y)^2 + y(x+y)^2 \\
            &= x(x^2 + 2xy + y^2) + y(x^2 + 2xy + y^2) \\
            &= (x^3 + 2x^2y + xy^2) +(x^2y + 2xy^2 + y^3) \\
            &= x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 \\
            &= x^3 + y^3 + 3xy(x+y)
\end{align*}


Usando esse resultado,

\begin{align*}
a + b + c = 0\,\,\, &\Rightarrow\,\,\,  (a+b)^3 = (-c)^3 \\
                           &\Rightarrow\,\,\, a^3 + b^3 +3ab(a+b) = -c^3 \\
                           &\Rightarrow\,\,\, a^3 + b^3 +3ab(-c) = -c^3 \\
                           &\Rightarrow\,\,\, a^3 + b^3 +c^3  = 3abc
\end{align*}
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Re: Identidades algébricas

Mensagem por Elcioschin em Sab 05 Jan 2019, 11:09

Uma outra prova para (x + y)³ é usar Binômio de Newton e os coeficientes do Triângulo de Pascal

(x + y)³ = x³ + 3.x².y + 3.x.y² + y³

(x + y)³ = x³ + y³ +3.x.y.(x + y)
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