comprimento da circunferencia

Olá Amigos, vocês poderiam me ajudar nessa questão

• A questão versa sobre geometria euclidiana plana e espacial, e estão baseadas nas seguintes informações e condições:



(i) Três esferas sólidas repousam sobre um plano horizontal;

(ii) A esfera menor tem centro no ponto C1, é tangente ao plano no ponto P1 e a medida de seu raio é igual a 1 cm;

(iii) A esfera maior tem centro no ponto C3, é tangente ao plano no ponto P3 e a medida de seu raio é igual a 3 cm;

(iv) A terceira esfera tem centro no ponto C2, é tangente ao plano no ponto P2, e a medida de seu raio é igual a 2 cm;

(v) Cada esfera é tangente externamente às outras duas.

O comprimento, em cm, da circunferência que contém os pontos C1, C2 e C3 é igual a
A
6π . 
B
4π . 
C
7π . 
D
5π .

Seja O1, O2, O3 os centros de C1 (raio 1), C2(raio 2), C3(raio 3)

O1O2 = 1 + 2 = 3
O1O3 = 1 + 3 = 4
O2O3 = 2 + 3 = 5

O triângulo O1O2O3 é retângulo em O2 e tem hipotenusa O2O3 = 5

A circunferência passa por O1, O2 e O3 tem centro no ponto médio de O2O3 e tem raio R = 5/2

C = 2.pi.R ---> C = 2.pi.(5/2) ---> C = 5.pi ---> alternativa D

Boa tarde!

Mestre, eu achei uma circunferência de raio diferente passando pelos pontos P1, P2 e P3, será que fiz algo errado?
Calculei, primeiramente, as distâncias entre os pontos P1P2, P1P3 e P2P3.
P1P2:
O1 está a 1cm de altura do ponto P1
O2 está a 2cm de altura do ponto P2
A distância entre O1 e O2 é 1+2=3cm pois as esferas são tangentes.
A diferença entre as alturas de O1P1 e O2P2 vale 2-1=1cm
Deste triângulo retângulo com hipotenusa 3 e cateto 1:
3^2-1^2=P1P2^2\\P1P2=\sqrt{8}

P1P3:
O1 está a 1cm de altura do ponto P1
O3 está a 3cm de altura do ponto P3
A distância entre O1 e O3 é 1+3=4cm pois as esferas são tangentes.
A diferença entre as alturas de O1P1 e O3P3 vale 3-1=2cm
Deste triângulo retângulo com hipotenusa 4 e cateto 2:
4^2-2^2=P1P3^2\\P1P3=\sqrt{12}

P2P3:
O2 está a 2cm de altura do ponto P2
O3 está a 3cm de altura do ponto P3
A distância entre O2 e O3 é 2+3=5cm pois as esferas são tangentes.
A diferença entre as alturas de O2P2 e O3P3 vale 3-2=1cm
Deste triângulo retângulo com hipotenusa 5 e cateto 1:
5^2-1^2=P2P3^2\\P2P3=\sqrt{24}

Agora temos as medidas dos lados:
P1P2=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\P2P3=2\sqrt{6}\\P3P1=2\sqrt{3}

Calculando-se a área:
A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\p=\dfrac{a+b+c}{2}\\p=\dfrac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\\A=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\cdot\left(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\cdot\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)\cdot\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)}\\A=\sqrt{23}

Como podemos obter a área de um triângulo usando os 3 lados e o Raio da circunferência circunscrita, podemos obter também o raio sabendo a área.
Assim:
A=\sqrt{23}=\dfrac{abc}{4R}\\\dfrac{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{4R}=\sqrt{23}\\\dfrac{48}{4R}=\sqrt{23}\\R=\dfrac{12}{\sqrt{23}}\\R=\dfrac{12\sqrt{23}}{23}\approx 2,502

Realmente o raio ficou bastante próximo de 2,5, mas não igual.
Será que errei em algo em meu raciocínio?

Abraços!

Baltuilhe

Eu escrevi uma frase errada na minha solução.
O que o enunciado pede é o perímetro da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelos centros O1, O2 e O3 das esferas (e não pelos pontos de contato P1, P2 e P3 delas com o plano horizontal)

Assim o triângulo é retângulo, de catetos 3, 4 e hipotenusa 5.
O raio da circunferência circunscrita tem raio igual à metade da hipotenusa: R = 5/2

C = 2.pi.R ---> C = 2.pi/(5/2) ---> C = 5.pi

Muito obrigado mestres pela ajuda!

  A propósito, seria mais ou menos essa a imagem descrita no problema? Apesar de o triângulo formado não se parecer com um triângulo retângulo.

sim, seria quase isso a projeção (fora de escala) no plano dado, ou seja, uma vista de topo.

Muito obrigado Medeiros!

Rafael,
um desenho um pouco mais realista da visão de topo e de perfil.

Nossa Medeiros, valeu mesmo cara! Dá agora pra ver perfeitamente que a hipotenusa é o diâmetro da circunferência formada. Muito obrigado amigo.