Análise Combinatória

Em um clube possui três piscinas: uma rasa, uma de profundidade média e outra funda. Próximo à piscina funda, se encontra uma placa com os seguintes dizeres:

"POR MOTIVO DE SEGURANÇA, NÃO É PERMITIDO NADAR SOZINHO NA PISCINA FUNDA"

Em certa hora do dia, havia 5 pessoas praticando natação.
Sabendo que a ordem das pessoas entre as piscinas não é importante, mas sim a quantidade de pessoas em cada uma, de quantas maneiras distintas esses usuários poderiam se distribuir pelas piscinas, considerando que eles cumpriram a determinação do clube?

RESP: 16

Olá, Texaco1

O seu gabarito está incorreto. Deixarei duas soluções para o seu enunciado e explicarei, ao final, o erro do seu gabarito.

1ª solução:

Vamos dividir o problema em casos.

1) Não há nenhuma pessoa na piscina funda

Há duas possibilidades para a primeira pessoa, ocupar a piscina rasa ou a piscina média. Há duas possibilidades para a segunda pessoa, ocupar a a piscina rasa ou a piscina média, .. etc.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵

2) Há duas pessoas na piscina funda e o restante do grupo está dividido entre as duas outras piscinas

Inicialmente, devemos escolher quais duas pessoas irão ocupar a piscina funda, há   C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = 10 modos de isso ser feito. Escolhida essas duas pessoas, há duas possibilidade para cada uma das que restam, ocupar a piscina rasa ou a piscina média.

10 x 2 x 2 x 2 = 80

3) Há três pessoas na piscina funda e o restante do grupo está dividido entre as duas outras piscinas

Inicialmente, devemos escolher quais três pessoas irão ocupar a piscina funda, há   C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10 modos de isso ser feito. Escolhida essas três pessoas, há duas possibilidade para cada uma das que restam, ocupar a piscina rasa ou a piscina média.

10 x 2 x 2 = 40

4) Há quatro pessoas na piscina funda e a que sobra está em uma das outras piscinas

Inicialmente, devemos escolher quais quatro pessoas irão ocupar a piscina funda, há   C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5 modos de isso ser feito. Escolhida essas quatro pessoas, há duas possibilidade para a que resta, ocupar a piscina rasa ou a piscina média.

5 x 2 = 10

5) As 5 pessoas estão na piscina funda, há um modo de isso ser feito

A resposta é 2⁵ + 80 + 40 + 10 + 1 = 163


2ª solução:

É fácil ver que há três possibilidades para cada pessoa: ocupar qualquer uma das três piscinas. Dessa forma, a reposta aparenta ser 3⁵. No entanto, devemos retirar os casos em que alguma pessoa está ocupando sozinha a piscina funda.

Fixando uma pessoa qualquer na piscina funda, temos:

2 x 2 x 2 x 2 x 1 = 2⁴

Há duas possibilidades para cada uma das outras pessoas que não estão na piscina funda: ocupar a piscina rasa ou a piscina média.

Como temos 5 pessoas, e cada uma delas pode ficar sozinha na contagem feita nessa solução, ganhamos que a reposta é 3⁵ - 5 x 2⁴ = 163


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Para chegarmos na respotas 16 é necessário considerar que as pessoas são iguais, o que não é dito no enunciado.

Considerando que as pessoas são iguais, basta calcularmos o número de soluções inteiras não negativas da seguinte equação:


Em que x_n representa o número de pessoas presentes na piscina n. Ora, sabemos que o número de soluções da equação mostrada é   C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = 21 . No entanto, devemos retirar o número de casos em que x₃ assume valor igual a 1 (significa que apenas uma pessoa ocupa a piscina funda, o que não é permitido).

Dessa forma, a equação se transforma em:


E há C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5 soluções para essa última equação.

Daí, chegaríamos a 21 - 5 = 16.

O problema dessa contagem é que ela não considera que as pessoas são diferentes.

Texaco1 escreveu:Em um clube possui três piscinas: uma rasa, uma de profundidade média e outra funda. Próximo à piscina funda, se encontra uma placa com os seguintes dizeres:

"POR MOTIVO DE SEGURANÇA, NÃO É PERMITIDO NADAR SOZINHO NA PISCINA FUNDA"

Em certa hora do dia, havia 5 pessoas praticando natação.
Sabendo que a ordem das pessoas entre as piscinas não é importante, mas sim a quantidade de pessoas em cada uma, de quantas maneiras distintas esses usuários poderiam se distribuir pelas piscinas, considerando que eles cumpriram a determinação do clube?

RESP: 16

A ideia do enunciador era propor que apenas a quantidade de pessoas importa, mas não quais ocupam dada piscina. E isso é diferente de "Sabendo que a ordem das pessoas entre as piscinas não é importante".

Abraço.