(Unirio) - análisae combinatória

(Unirio) Um grupo de 9 pessoas, dentre elas os irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 3 barracas diferentes, sendo que, na primeira, dormiram duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a única restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir na mesma barraca?
a) 1260.
b) 1225.
c) 1155.
d) 1050.
e) 910.

Total de modos = C9,2 * C7,3 * C4,4 = 9!/2!7 * 7!/3!4! * 4!/4!0! = 9*8*7!/2*7! * 7*6*5*4!/3!4! * 1 = 9*4 * 7*5 * 1 = 36*35 = 1260

Total de modos com os dois irmãos juntos =
dois irmãos na 1ª barraca ou 2 irmãos na segunda barraca ou dois irmãos na 3ª barraca

dois irmãos na 1ª barraca - 1* C7,3 * C4,4 = 35

Só tem um modo para a primeira barraca (os dois irmãos nela); para a segunda , sobram 7 pessoas para 3 vagas (C7,3); já na terceira, como já foram 2+3= 5 pessoas, agora sobram 4 pessoas para 4 vagas (C4,4).

dois irmãos na 2ª barraca - 1*C7,1 * C6,2*C4,4 = 7*15 = 105

Note que para a segunda barraca duas posições já estão ocupadas pelos dois irmãos, logo dobram 7 pessoas para 1 vaga (C7,1) ; para a primeira barraca, sobrama 9-3 pessoas da segunda barraca = 6 pessoas para 2 vagas (C6,2); e para a quarta barraca , sobram 4 pessoas para 4 vagas (C4,4).

dois irmãos na 3ª barraca - 1*C7,2*C5,3*C2,2 = 21*10 = 210

Note que os dois irmãos já ocupam duas vagas da terceira barraca, logo sobram 7 pessoas para 2 vagas (C7,2); para a primeira barraca, sobram 9-4 = 5 pessoas para duas vagas (C5,2); e para a segunda barraca, sobram 2 pessoas para duas vagas.

Total de modos com os dois irmãos juntos = 35+105+210 = 350

Agora basta subtrair para achar a qtde que os irmãos não ficam juntos:
1260 - 350 = 910

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