'Trinômio' de newton

por Felipe Dias Soares Ter 23 Jan 2018, 19:09

Coeficiente de x^6 no desenvolvimento de:

$\left ( 2x+\frac{1}{x^2} \right )^{3}.\left ( x^2+\frac{1}{2x} \right )^3$

GABARITO:

Tentei fazer da seguinte maneira:

$\left ( \left ( 2x+\frac{1}{x^2} \right ).\left ( x^2+\frac{1}{2x} \right ) \right )^3$

$\left ( 2x^3+\frac{1}{2x^3}+2 \right )^3$

Mesmo considerando 2=2.2x^3/2x^3 ainda tenho problemas na resolução.

Obrigado

por **Elcioschin** Ter 23 Jan 2018, 20:16

(2.x + 1/x²)³ = (2.x)³ + 3.(2.x)².(1/x²) + 3.(2.x).(1/x²)² + (1/x²)³ = 8.x³ + 12 + 6/x³ + 1/x⁶

(x² + 1/2.x)³ = (x²)³ + 3.(x²)².(1/2.x) + 3.(x²).(1/2.x)² + (1/2.x)³ = x⁶ + 3.x³/2 + 3/4 + 1/8.x³

Os únicos casos para se obter x⁶são: 12.x⁶e (8.x³).(3.x³/2) = 12.x⁶

Soma dos coeficientes = 12 + 12 = 24

por Felipe Dias Soares Ter 23 Jan 2018, 21:34

Compreendi perfeitamente, mas a minha intenção era usar binômio de newton. Vou resolver por binômio de newton:

$\left ( \left ( \frac{2x^3+1}{x^2}\right )\left ( \frac{2x^3+1}{2x} \right ) \right )^3$
Que equivale a:
$\left ( \frac{(2x^3+1)^2}{2x^3}\right )^3$

$\frac{(2x^3+1)^6}{8x^9}$

Para termos o termo de x elevado a 6, temos que achar o termo do binômio do numerador sendo 15. Achando x^15 do binômio presente no numerador achamos o x^6 da expressão inicial.

Esse termo x^15 do binômio (2x^3+1)^6 é 192.x^15 que dividindo por 8x^9 resulta em 24x^6.

Aliás, obrigado

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