Algebra

Se as raízes da equação biquadrada  x^4 - 250x^2 + m=0 estão em PA, determine o valor de raiz quadrada de "m".
a)15
b)9
c)25
d)75
e)125

Tentei fazer a questão e não consegui.
Mas pelo meu raciocínio é assim(talvez ajude quem for fazer):

Supondo que temos 2 raízes para a equação x²-250x+m=0.

Tendo S1 e S2, realizamos o seguinte procedimento(em equações biquadradas).

S=\/S1 S=\/S2

Isso nos dá:
S=+-\/S1, +-\/S2

Alinhando isso conforme a reta numérica(para facilitar o entendimento), e admitindo S1
[-S2]-------[-S1]------0------[S1]-------[S2]

Ou seja, teremos uma distância fixa entre [-S1] e [S1], isso nos dará uma razão de |S1-0|*2
r=2|S1|

Ou seja. +-S2 ficará assim em função de S1:
[S2]=[S1]+2|S1|
[S2]=3[S1]

Creio que a premissa [S2]=3[S1] seja a "chave" para essa questão.

Comprovando:
S={-6,-2,+2,+6}---->Razão=4

[S2]=3[S1]
6=3*2
6=6

Também vale pras soluções negativas(obviamente)
[S2]=3[S1]
-6=3(-2)
-6=-6

Espero que isso ajude quem for tentar resolver.
Forte abraço!

Dudu, encontrei uma outra forma de resolver...

Podemos organizar as quatro raízes de um modo que nos favoreça:

x^4+0x^3 - 250x^2+0x + m=0\,;\,S=\left \{a-3r\,;\,a-r\,;\,a+r\,;\,a+3r \right \}

Da primeira relação de Girard, temos que:

a-3r+a-r+a+r+a+3r = 0 \Leftrightarrow 4a=0 \Leftrightarrow \boxed{a=0}

Assim, nosso conjunto solução será somente

S=\left \{-3r\,;\,-r\,;\,r\,;\,3r \right \}

Por Girard novamente, temos que m pode ser calculado em função de r:

(-3r).(-r).(r).(3r)= m \Leftrightarrow \boxed{m=9r^4}\;\mathrm{(I)}

Mas como r é uma raiz, podemos dizer que:

r^4-250r^2+ m=0  \Leftrightarrow \boxed{m=250r^2-r^4}\;\mathrm{(II)}

Igualando-se (I) e (II):

250r^2-r^4=9r^4 \Leftrightarrow \frac{r^2(r^2-25)}{10} =0 \Rightarrow r=-5 \; ou \; r=0\; ou \; r=5

Para tais valores de r, encontramos que: 

m= 0\; ou\; m= 5625  \Leftrightarrow \boxed{\sqrt m = 0 \;ou\; \sqrt m = 75}

Uh... sei que a resolução ficou longa, mas foi o primeiro caminho que me veio a cabeça... hee hee. Se eu não errei nada, chegamos na alternativa D... creio eu que o exercício desconsiderou a P.A de razão nula e termos nulos.

Espero ter sido claro, sir... Se bem que essa resolução me deixa desconfortável...

Legal sua solução, eu poderia tentar o quanto quisesse que não chegaria nisso(pois não estudei esse assunto ainda).

Vou lhe mostrar como iniciei o cálculo:

Se [S2]=3[S1], sendo S as soluções da equação biquadrada, temos a seguinte relação quanto á equação de 2º grau:

(Solução da equação biquadrada)²=Solução de 2º grau

Ou seja:
[S2]=3[S1]
[S2]²=9[S1]²

Resolvendo x²-250x+m=0

Delta=62500-4m
x=[250+-\/(62500-4m)]/2
x=125+-\/(0,25)(62500-4m)
x=125+-\/(15625-m)

Sabemos que [S2]>[S1], portanto:

S2=125+\/15625-m
S1=125-\/15625-m

Substituindo:
125+\/(15625-m)=3(125-\/15625-m)
125+\/(15625-m)=375-3\/(15625-m)
4\/(15625-m)=250
\/15625-m=62,5

Elevando ao quadrado:
15625-m=3906,25
m=11718,75

Porém com certeza não é esse valor.
Poderia me dizer por quê essa minha substituição foi "falha"?
Ou foi um erro de cálculo meu?

Abraço!

Ok, vou partir do seu raciocínio...

Chamei as raízes de α e β...

x^4 - 250x^2+ m=0\,;\,S=\left \{-\beta\,;\,-\alpha \,;\,\alpha \,;\,\beta  \right \}\,;\,\beta>\alpha

P.A=\left \{-\beta\,;\,-\alpha \,;\,\alpha \,;\,\beta  \right \}

Da sua reta, podemos dizer que:

2(\alpha -0)=r \Leftrightarrow \boxed{r=2\alpha}

Mas da P.A acima, temos também que:

\beta -\alpha =2\alpha \therefore  \boxed{\beta =3\alpha}

Calculando as raízes como você fez:

\\x^4 - 250x^2+ m=0\;(t=x^2)\Leftrightarrow t^2-250t+m=0\\\\\\t=125\pm\sqrt{15625-m}\;\;\begin{cases}\beta ^2=125+\sqrt{15625-m}\\\alpha^2=125-\sqrt{15625-m}\end{cases}\Rightarrow\alpha ^2+\beta ^2=250

Mas como β=3α, temos:

\alpha^2+(3\alpha)^2=250 \Leftrightarrow 10\alpha^2=250 \Leftrightarrow \boxed{\alpha^2=25}

Se igualarmos à segunda equação do sistema:

125-\sqrt{15625-m}=25 \Leftrightarrow \sqrt{15625-m}=100  \Leftrightarrow m=5625 \therefore \boxed{\sqrt m =75}

Pela sua reta, estamos trabalhando com 0 < α < β. Descobrimos então que α = 5 e β = 15, o que faz sentido se aplicarmos as relações de Girard:

S=\left \{-3\alpha\,;\,-\alpha \,;\,\alpha \,;\,3\alpha \right \}

(-3\alpha).(-\alpha).(\alpha).(3\alpha) =m \Leftrightarrow m=9\alpha^4 \Leftrightarrow \sqrt m = 3\alpha^2 \Leftrightarrow \boxed{\sqrt m = 75}

Uh... que exercício mau. Enfim... você deve ter se confundido em alguma coisa, provavelmente na relação entre as soluções. Você conseguirá que m=5625 se igualar β²=9α².

Cara, creio que não tenha erro nenhum, pois apesar de ser algo dedutível mentalmente(fácil), é algo bem notável, sem precisar fazer muitos cálculos, e deixando assim de estar sujeito á erros.

Para todos os valores de solução em P.A essa relação é confirmada.

Por exemplo:
-30,-10,10,30.

[S2]=3[S1]
30=3*10
30=30

Também não sei porquê a resolução dessa forma não dá o resultado que queremos(o verdadeiro).
    

Forte abraço e Feliz 2018!

Uh, mas esses resultados podem ser considerados os da equação do 4º grau... No seu cálculo você envolveu as raízes da equação do 2º grau... Será que não é isso?

No meu caso, por exemplo, [S1] e [S2] seriam os valores de t. Por sua vez, t = x².

Vou refazer exatamente seus passos:

 y^2-250y+m=0\,;\,V= \left \{s_1\,;\,s_2 \right \}

Logo, as raízes da nossa equação original serão

V= \left \{-\sqrt{s_2}\,;\,-\sqrt{s_1}\,;\,\sqrt{s_1}\,;\,\sqrt{s_2} \right \}\,;\,\sqrt{s_1}<\sqrt{s_2}

Como  e   são equidistantes de 0, temos:

2(\sqrt{s_1}-0)=r \therefore \boxed{r=2\sqrt{s_1}}

... A relação entre as duas raízes:

\sqrt{s_2}-\sqrt{s_1}=2\sqrt{s_1} \Leftrightarrow \boxed{\sqrt{s_2}=3\sqrt{s_1}}

Se retornarmos à sua equação, teremos que:

V= \left \{s_1\,;\,s_2 \right \}\,;\,\boxed{s_2=9s_1}

Agora sim você pode fazer a sua igualdade... e o resultado será bonito:

s_1 = 125-\sqrt{15625-m}\;;\;s_2=125+\sqrt{15625-m}


\\s_2=9s_1 \Leftrightarrow 125+\sqrt{15625-m} =9(125-\sqrt{15625-m})\Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow 125+\sqrt{15625-m}=1125-9\sqrt{15625-m} \Leftrightarrow 10\sqrt{15625-m}=1000\Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow 15625-m = 10000 \therefore \boxed{m=5625}

Por isso que eu comentei que você possa ter ficado confuso com as incógnitas e ter misturado relações da primeira com a sua equação...

Mas tem-se uma relação entre a solução da equação ax²+bx+c=0 e a solução da equação ax⁴+bx²+c=0

Por exemplo, sejam {SA,SB} as soluções da equação ax²+bx+c=0, as soluções da equação de 4º grau(mais conhecida como equação biquadrada) serão obtidas assim(admitindo SA>SB).

S1=+\/SA
S2=-\/SA
S3=+\/SB
S4=-\/SB

As soluções tem a seguinte relação(ambas levam ao mesmo resultado):
[S2]=3[S4]
[S1]=3[S3]

Substituindo os valores(aqui foi meu erro):
\/SA=3\/SB
\/[SA]=\/9[SB]-->Essa é a relação entre as raízes da equação de 2º grau

Já desenvolvi SA e SB na mensagem anterior, então substituindo:
SA=125+\/(15625-m)
SB=125-\/(15625-m)

\/[125+\/(15625-m)]=\/[9(125-\/15625-m)]
\/[125+\/(15625-m)]=\/[1125-9\/(15625-m)]

Elevando tudo ao quadrado:
125+\/(15625-m)=1125-9\/(15625-m)
10\/(15625-m)=1000
\/(15625-m)=100

Elevando ao quadrado novamente:
15625-m=10.000
-m=10.000-15625
-m=-5625
m=5625

Como o enunciado pede \/(m):
\/(m)=\/5625
\/(m)=75

Alternativa (d)75

Um erro sutil na relação entre as 2 raízes me levou ao erro.
Mas tá aí, quase nem acreditei quando cheguei no resultado, kkkk.
Uma questão um tanto quanto trabalhosa.

Grande abraço e Feliz 2018!

Mas era exatamente isso que eu estava tentando te apontar o tempo todo... hee hee. A mistura de relações que citei foi que você utilizou as soluções da sua equação para uma relação entre as raízes da equação do 4º grau (que, no caso, seria uma raiz o triplo da outra). Para a sua, no entanto, uma raiz é 9 vezes a outra... E em ambos os casos teremos raízes tomadas 2 a 2 e opostas.

Enfim, conseguimos identificar. Tenha um ótimo ano novo, abraços!