[FUVEST]Função/Equação Modular

Relembrando a primeira mensagem :

(Fuvest) Seja m≥0 um número real e sejam f e g
funções reais definidas por 


f(x) = x² - 2|x| + 1 
g(x) =mx + 2m


Determine, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x).

GABARITO:
m=0--->2 raízes
0< m <1/2--->4 raízes
m=1/2---->3 raízes
m>1/2---->2 raízes

 0< m< \frac{1}{2} (I)
Não existira infinitos m que resultaria em quatro raízes distintas?
Estou com a mesma dúvida para m>  \frac{1}{2} (II)
Pelo que eu entendi  gabarito não fala quantas raízes são no vários valores que m pode assumir em(I) E (II)  mas quantas podem acontecer dado um único m entre esse intervalo, é isso?

Não importa o valor de m, desde que esteja no intervalo proposto, sempre terá n raízes distintas.

Esse número n, você calcula substituindo qualquer valor  que satisfaz a condição do valor de m, e conferindo visualmente quantas raízes o mesmo tem.

Exatamente, ele quer saber como se comporta g(x) nos intervalos formados por m, ou seja, quantas raízes g(x) determina com f(x) quando está em cada intervalo e não o total de todas as raízes que todas as retas nesse intervalo determinam.

E respondendo a dúvida anterior do Dudu é possível resolver pela forma algébrica mas é mais trabalhosa.  A melhor solução para esse exercício é gráfica.

Só tem como resolver então para 2m=0 ou 2m=1 .
2m=0 eu fiz, 2m=1 substitui que você acha os valores das intersecções.
Notei também que esse 2m=1 não são quaisquer valores dado mas sim o coeficiente angular da função afim por isso tais proposições bem percebidas de intervalo. Muito obrigado, mestre Petras!

Muito obrigado, Petras.
Suas resoluções são ótimas e bem claras.
Forte abraço.

Encontrei essa solução algébrica( curso elite). Alguém pode explicar a análise das raízes que não ficou muito clara?

Para x \leq  0
f(x) = g(x) \rightarrow x^2+x(2-m)+1-2m = 0 \rightarrow x = \frac{m-2+/-\sqrt{m^2+4m}}{2}
Nenhuma raiz real: m^2+4m<0\rightarrow -4 < m < 0
Uma raiz real: m^2+4m=0\rightarrow m = -4 \ ou \ m =0\\\ m^2+4m > 0 \ e \ m-2+\sqrt{m^2+4m} > 0 \rightarrow m > \frac{1}{2}
Duas raízes reais: m^2+4m > 0 \ e\ m-2+\sqrt{m^2+4m}\leq 0 \rightarrow 0 < m\leq \frac{1}{2}\ e\ m< -4

Para x>0
f(x) = g(x) \rightarrow x^2-x(m+2)+1-2m = 0 \rightarrow x = \frac{m+2+/-\sqrt{m^2+12m}}{2}
Nenhuma raiz real: Pelo gráfico \rightarrow m < 0
Uma raiz real: \\m^2+ 12m=0 \ e\ \frac{m+2+/-\sqrt{m^2+12m}}{2} > 0\rightarrow m = 0\\m^2+12m > 0\ e \ m+2-\sqrt{m^2+12m}\leq 0 \rightarrow m\geq \frac{1}{2}

Duas raízes reais: m^2+4m>0 \ e\ m+2-\sqrt{m^2+12m}\leq 0 \rightarrow 0 < m\leq \frac{1}{2}

Efetuando a soma das raízes nos intervalos:
\\|~~m ~~~|~~~~~|-12|~~~~~|-4|~~~~~|~~~0~|~~~~~~|1/2|~~~~~~|\\\ \\|x\leq 0 |~~2~~|~~~2~~|~~2~~|~~1~|~~0~~|~~1~~|~~2~~|~~2~~|~~1~~|\\\ \\|x>0 |~~0~~|~~~0~~|~~0~~|~~0~|~~0~~|~~1~~|~~2~~|~~1~~|~~1~~|\\\ ----------------------\\\\ |Soma |~~2~~|~~~2~~|~~2~~|~~1~|~~0~~|~~2~~|~~4~~|~~3~~|~~2~~|
              

Portanto para m\geq 0  teremos:

m = 0\rightarrow  2 raízes
 0 < m <\frac{1}{2}\rightarrow 4 raízes
 m =\frac{1}{2}\rightarrow 3 raízes
 m >\frac{1}{2}\rightarrow 2 raízes

Estava dando uma resposta mais detalhada, mas a página acabou recarregando e eu perdi tudo (estou pelo celular). Vou buscar resumir, se ficar en dúvida de alguma parte avisa .

Primeira ele separa em 2 casos, o caso em que x ≤ 0 e depois quando x > 0 para obter o módulo de x.

Para x ≤ 0 teremos as seguintes situações.
 
Quando a discriminante é igual a 0 e, portanto, podemos obter ou não uma raiz. Nesse caso a discriminante será igual a 0 para m = 0 ou m = - 4, o que não satisfaz. Fazendo então m = 0

x² + 2x + 1 = 0 . x² + 4 . 0

(x + 1)² = 0

x = - 1

De fato é solução pois estamos considerando x ≤ 0

A outra situação é quando a discriminante é maior que 0 e daqui temos 3 casos possíveis. Um deles é quando temos duas raizes positivas, 2 negativas ou uma positiva e outra negativa. Mas o que convém verificar é quando temos duas negativas ou uma negativa e outra positiva.

Para verificar o caso em que temos uma positiva e outra negativa, usamos as soluções de x.

x = (m - 2 ± √∆)/2

Então para garantirmos uma positiva e outra negativa, basta verificar quando:

√∆ > |m - 2| 

Pois se o que está acima for verdadeiro, teríamos que 

m - 2 + √∆ > 0

E

m - 2 - √∆ < 0

E para que isso seja verdade, ou seja, que:

√∆ > |m - 2|

Então teremos que m > 1/2 

A outra situação é quando temos 2 raízes negativas ou uma negativa e outra igual a 0, ou seja, quando temos:

m - 2 + √∆ ≤ 0

Pois dessa forma garantimos também que:

m - 2 - √∆ ≤ 0

E isso ocorre quando m ≤ 1/2.

Então daqui já teríamos:

Se m = 0 ---------> 1 raiz
Se m > 1/2 -----> 1 raíz
Se m ≤ 1/2 -----> 2 raízes

Agora falta o caso em que x > 0.

|x| = x

x² - 2x + 1 = mx + 2m

x² - x(2 + m) + 1 - 2m = 0

Nossa discriminante será 

∆ = m² + 12m

Verificando para o caso em que temos 1 raiz, ou seja, quando discriminante é igual a 0.

m = 0

x² - 2x + 1 = 0 . x + 4 . 0

(x - 1)² = 0

x = 1 <--- aqui satisfaz como solução 

Depois verifique quando teremos duas raízes positivas e uma positiva e outra negativa 

Para duas positivas basta termos 

m + 2 - √∆ > 0

Pois dessa forma garantimos que 

m + 2 + √∆ > 0

Ou seja 


0 ≤ m < 1/2

Para termos uma positiva e outra negativa, basta termos que 

√∆ > |m + 2|

Ou seja, 

m ≥ 1/2

Então aqui teremos 

Se m = 0 ------------> 1 raiz 
Se 0 ≤ m < 1/2 ---> 2 raiz
Se m ≥ 1/2 ----------> 1 raiz

Basta colocar tudo em uma condição em função da quantidade de raízes

Grato, depois leio com calma.

x\leq 0 

Uma raíz real:

m^{2}+4m  e m-2+\sqrt{m^{2}+4m}> 0 

mas x=\frac{m-2+\sqrt{m^{2}+4m}}{2} 

Assim x seria positivo o que é um absurdo.