Fuvest-Modular

a)Esboce para x real, o gráfico da função f(x) = |x-2| + |2x+1| - x - 6. O simbolo |a| indica o valo absoluto de um número real a e é definido por |a| = a, se a >=0 e |a| = -a, se a <0.
b) Para quais valores de x temos f(x) > 2x+2?

okinawa2 escreveu:a)Esboce para x real, o gráfico da função f(x) = |x-2| + |2x+1| - x - 6. O simbolo |a| indica o valo absoluto de um número real a e é definido por |a| = a, se a >=0 e |a| = -a, se a <0.
b) Para quais valores de x temos f(x) > 2x+2?

Ah .. esqueci de falar..se alguem puder me explicar tambem ligeiramente passo a passo..pela resolu~ção minha que fiz aqui em casa eu cheguei a metade do gráfico certinho...mas não consigu ''ir além''... =]

Gostaria de ver a resolução da letra b.

a)
Para |x-2|:
(x-2) se x-2 ≥ 0 (condição A)
-(x-2) se x-2 < 0 (condição B)*

e para |2x 1|:
(2x 1) se 2x 1 ≥ 0 (condição B)*
-(2x 1) se 2x 1 < 0 (condição C)

*Note que pode se escrever x<2 (x-2<0) e x ≥ -1/2 (2x 1 ≥ 0) como -1/2 ≤ x < 2, por isso ambos são reunidos na condição B.

Assim: x ≥ 2 (A), -1/2 ≤ x < 2 (B) e x < -1/2 (C)

Desse modo, f(x):
(A): x-2 2x 1-x-6; se x ≥ 2 → 2x-7; se x ≥ 2
(B): -x 2 2x 1-x-6; se -1/2 ≤ x < 2 → -3; se -1/2 ≤ x < 2
(C): -x 2-2x-1-x-6; se x < -1/2 → -4x-5; se x < -1/2

Como (B) é constante e é ≠ 0, não há raiz nessas condições. Então para:
(A): 2x-7=0 → x = 7/2
(C): -4x-5=0 → x = -5/4

Com esse dados é possível obter o gráfico:




b)
analisando g(x)=2x 2 tem-se:
quando x = 0; y = 2
quando y = 0; x = -1

Com isso, vemos que as retas se cruzam no intervalo x[-5/4, -1/2]. Como nesse intervalo é domínio da função f(x)=-4x-5, o ponto de encontro entre f(x) e g(x) informa os valores que satisfazem a inequação. Assim:
f(x) > 2x 2 → -4x-5>2x 2 → -4x-5-2x-2 0 → -6x-7 > 0 → -6x>7 → 6x<-7 → x < -7/6

Portanto, para x < -7/6, f(x) > g(x), o que se pode perceber quando se esboça os dois gráficos no mesmo plano.

bom dia,
porque o -3 foi considerado como função (do meio - B) constante, mas não -4,5?
|x-2|+|2x+1|-x-6
colocando a primeira equação modular como >0 ja a segunda como < 0 :::
(x-2)+(-(2x+1))-x-6
obtemos x = -4,5 ou -9/2


poderia me explicar tambem no item b) para que pede valores reais de x temos f(x)> 2x +2, o intervalo se encontra na equação -4x-5 > 2x + 2

faltou fazer a pergunta c) encontre as raízes de f(x).

paulom2 escreveu:bom dia,
porque o -3 foi considerado como função (do meio - B) constante, mas não -4,5?
|x-2|+|2x+1|-x-6
colocando a primeira equação modular como >0 ja a segunda como < 0 :::
(x-2)+(-(2x+1))-x-6
obtemos x = -4,5 ou -9/2

 O que acontece é que para x < 2, |x-2| assume valores negativos, mas |2x+1| não necessariamente. Este só assumirá valores negativos para x < -1/2.
 Se obteria -9/2 para o caso de considerar apenas |2x+1| assumindo valores negativos e deixasse |x-2| inalterado, mas necessariamente, para qualquer x que resulte em (2x+1) < 0, (x-2) também será negativo. Então ao tratar da função observando |2x+1| e invertendo os sinais da expressão, o valor de |x-2| também será alterado, e o resultado é -3.
 Não sei se consegui explicar direito, mas é isso.

paulom2 escreveu:poderia me explicar tambem no item b) para que pede valores reais de x temos f(x)> 2x +2, o intervalo se encontra na equação -4x-5 > 2x + 2

Ah sim, peço desculpas por não deixar o raciocínio explícito. No caso, esboçando a reta de 2x+2 em um plano cartesiano dá pra deduzir que o ponto de encontro com f(x) é com a reta de -4x-5, que é a reta de f(x) para x < (-1/2). Isso porque a raiz de 2x+2 vale -1 e o valor mínimo de x de -4x-5 é justamente -1/2.
Explicando por texto pode não ser muito claro, mas ao esboçar f(x) e 2x+2 no mesmo plano talvez fique mais nítido.

paulom2 escreveu:faltou fazer a pergunta c) encontre as raízes de f(x).

As raízes foram encontradas durante o processo:
(-5/4) e 7/2.

Abraço!