(FUVEST)Inequação Modular

por biologiaéchato Sáb 23 Dez 2017, 10:48

(FUVEST)Resolva a inequação x|x|>x

GABARITO:
S={ x>1 ou -1

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 11:49

|x|=x, se x ≥ 0

|x|=-x, se x < 0

Para x ≥ 0 (1):

x.(x) > x -> x²-x > 0 -> x < 0 ou x > 1 (2)

(1) Ո (2): x > 1 (3) (Esta condição, por si só, já satisfaz a inequação.)

Para x < 0 (4):

x.(-x) > x -> -x² -x > 0 -> -1 < x < 0 (5)

(4) Ո (5): -1 < x < 0 (6) (Esta condição, por si só, já satisfaz a inequação.)

Como temos duas condições que, independentemente, satisfazem a inequação, fazemos a união entre elas.

(3) U (6): -1 < x < 0 ou x > 1

S = {x ∈ ℝ / -1 < x < 0 ou x > 1}

por biologiaéchato Sáb 23 Dez 2017, 13:12

Boa tarde, Giovana.

Ótima sua solução, mas não entendi só uma coisinha.
Porquê é {3} U {6}, e não {3} Ո {6} ?

Com base nesse pequeno conhecimento que tenho sobre esse tipo de inequação, na maioria dos casos, quando o sinal da inequação é de >, sendo maior o lado das incógnitas, na "junção" das resoluções, usa-se a união.

E quando o lado das incógnitas está menor, usa-se intersecção.

Pode confirmar isto para mim?Caso você saiba.
Como você sabe quando usa-se intersecção ou união?

Grato e um forte abraço!

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 13:37

Dudu, nós sabemos que o termo |x| se comporta de maneira diferente dependendo do conjunto de valores de x que estamos analisando. Para x ≥ 0, |x| se comporta de uma forma e para x < 0, |x| se comporta de outra forma. Inicialmente eu proponho duas condições x ≥ 0 ou x < 0, sendo estas condições independentes entre si. Quando tomamos x ≥ 0, esta condição satisfaz a inequação desde que x < 0 ou x > 1. Note que neste caso x ≥ 0 depende de x < 0 ou x > 1, sendo assim, neste caso, utilizamos a intersecção. Quando tomamos x < 0 esta condição satisfaz a inequação desde que -1 < x < 0, ou seja, novamente uma condição depende da outra e, portanto, utilizamos a interseção. Desse modo, para cada uma das condições propostas inicialmente (x ≥ 0 e x < 0) eu tenho um conjunto solução. Como x ≥ 0 independe de x < 0, e para cada uma dessas condição nós temos um conjunto solução da inequação independente entre si, ao final da resolução fazemos a união dos conjuntos solução, ou seja, (3) U (6).

"Quando qualquer das condições, sozinha, satisfaz a inequação, a solução é o conjunto das condições, união."

"Quando as condições devem ser satisfeitas simultaneamente, ao mesmo tempo, temos uma intersecção."

Nota: uma vez eu tive uma dúvida (clique no link) igual a sua. Caso sobre alguma dúvida, é só falar.

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 13:45

Editei minha primeira resposta.

por biologiaéchato Sáb 23 Dez 2017, 14:56

Muito obrigado Giovana.

Eu já sabia a definição básica de intersecção ou união, e quando usá-la.
O que realmente me intriga é se teria um "macete", pra agilizar os cálculos.

Acho que você entendeu errado, não quis dizer no estudo da proveniência do módulo, mas sim na forma original da equação.

Por exemplo:
|x|<4

x<4[I]

-x<4
x>-4[II]

Temos 2 intervalos que dependem de si, certo?
[I] Intersecção com [II]={-4
Viu como nesse caso teve que usar a intersecção?
Creio que deva ser por que a incógnita está do lado menor da equação(vou destacar o sinal).

Agora, vemos uma equação modular que a incógnita está do lado maior:
|x|>10

x>10[III]

-x>10
x<-10[IV]

Agora usamos a união, tendo:
[III] U [IV]={x>10 ou x<-10}

Tenho outro método também, quando eu sei que a equação tem resolução e a intersecção delas não será nada, obviamente usaremos a união.

Mas o que achou da minha "orientação pelos sinais"?
Acha que esse método pode ter "brechas" e me induzir ao erro?

Abraço.

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 15:42

Dudu, eu não sei se eu entendi bem o que você quis dizer, mas veja se a explicação a seguir sana a sua dúvida: pelo que eu entendi, você diz que a forma da inequação influi a intersecção ou a união das soluções, certo? Na verdade, tanto faz |x| < a ou |x| > a, a análise será a mesma para os dois casos, veja:

Primeiro, analisemos a inequação |x| < a, com a > 0. Por definição:

|x| = x, se x ≥ 0

|x| = -x, se x < 0

Para x ≥ 0 (1):

|x| < a -> x < a (2)

(1) Ո (2): 0 ≤ x < a (3)

Para x < 0 (4):

|x| < a -> -x < a -> x > -a (5)

(4) Ո (5): -a < x < 0 (6)

(3) U (6): -a < x < a

S = {x ∈ ℝ / -a < x < a}

- // -

Agora, analisemos a inequação |x| > a, com a > 0. Por definição:

|x| = x, se x ≥ 0

|x| = -x, se x < 0

Para x ≥ 0 (1):

|x| > a -> x > a (2)

(1) Ո (2): x > a (3)

Para x < 0 (4)

|x| > a -> -x > a -> x < -a (5)

(4) Ո (5): x < -a (6)

(3) U (6): x < -a ou x > a

S = {x ∈ ℝ / x < -a ou x > a}

No final, a união levará a conjuntos soluções distintos, mas a sistemática utilizada no desenvolvimento da inequação será a mesma independente de termos |x| < a ou |x| > a. Sendo assim você não precisará ficar imaginando um tipo de solução se |x| < a ou outro tipo de solução se |x| > a. Deu para sanar a sua dúvida? Caso eu não tenha sanado a sua dúvida pode falar. E não, até onde eu sei não existem macetes que facilitem os cálculos no desenvolvimento de inequações modulares. Deve haver uma ou outra questão na qual há uma saída que facilite os cálculos, mas ainda assim são casos isolados.

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 15:57

Acabei de lembrar uma questão do ITA que envolve inequações modulares (não tão parecida com esta, mas acho que ela vem ao caso) na qual há um "macete" (na verdade um olhar atento do colega Matemathiago) que evita alguns cálculos:

Veja: questão (clique no link).

Mas veja que é um caso bem isolado.

por biologiaéchato Sáb 23 Dez 2017, 20:21

Como não existe algo realmente "concreto" para saber qual operação fazemos o jeito é se guiar pela percepção.

Até agora esse método dos sinais não me induziu ao erro ainda, pretendo continuar usando-o, se não me "deixar na mão".

Á propósito, bem interessante essa questão do ITA, obrigado por compartilhá-la!

(FUVEST)Inequação Modular 503132

Forte abraço e feliz Natal!

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 20:58

"Como não existe algo realmente "concreto" para saber qual operação fazemos o jeito é se guiar pela percepção."

Na verdade, existe algo "concreto", mas é necessário estar atento quanto as condições estabelecidas pelo exercício e a interpretação que você faz do mesmo.

"Á propósito, bem interessante essa questão do ITA, obrigado por compartilhá-la!"

De nada!

"Forte abraço e feliz Natal!"

Igualmente.