(Fuvest)Inequação Modular

por biologiaéchato Qua 20 Dez 2017, 23:29

[Fuvest-SP]Resolva a inequação:
|4-x²|≤(x+7)/2

Pessoal, consegui fazer a questão em parte, achei os pontos dos zeros das 2 funções, mas na hora de fazer a intersecção no estudo do sinal me embaralhei e não entendi nada, quem puder me ajudar fico grato, grande abraço.

GABARITO:
S={-2,5≤x≤-1 ou 0,5≤x≤3}

por superaks Qui 21 Dez 2017, 00:24

Se |x| ≤ a onde a é um real não negativo, então

- a ≤ x ≤ a

Verificando quando o lado direito é positivo

(x + 7)/2 ≥ 0

x ≥ - 7

Essa é nossa condição para que aquela desigualdade modular exista

Logo, temos

- (x + 7)/2 ≤ 4 - x² ≤ (x + 7)/2

- x - 7 ≤ 8 - 2x² ≤ x + 7

Resolvendo uma de cada vez

8 - 2x² ≤ x + 7

- 2x² - x + 1 ≤ 0

Note que o coeficiente angular é negativo, então se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo.

Como queremos os valores negativos, então basta pegar os valores de x que são.maiores que a maior raiz e menores que a menor raiz, ou seja

As raízes são:

(1 ± 3)/(-4)

Logo, x ≥ 1/2 e x ≤ - 1

Resolvendo a outra inequação

- x - 7 ≤ 8 - 2x²

- 2x² + x + 15 ≥ 0

Aqui também temos uma parábola com concavidade para baixo, mas como queremos valores maiores que 0, pegamos valores entre as 2 raízes

As raízes são:

(- 1 ± 11)/(- 4)

Logo, - 5/2 ≤ x ≤ 3

Fazendo a intersecção, obtemos

1/2 ≤ x ≤ 3 ou - 5/2 ≤ x ≤ - 1

por **Giovana Martins** Qui 21 Dez 2017, 00:27

Dudu, para questões neste estilo a melhor opção é resolvê-las graficamente, pois evita-se confusões e fica mais fácil de enxergar o que o enunciado pediu.

- Tomemos as funções f(x)=|4-x²| e g(x)=(x+7)/2.

- Façamos f(x)=g(x) para obtermos os pontos de intersecção entre ambas as funções. Da interseção, obtemos:

x=-5/2, x=-1, x=1/2 e x=3

Construindo os gráficos de f(x) e g(x):

A situação que nos interessa é aquela na qual f(x) ≤ g(x), ou seja, estamos em busca de intervalos nos quais o gráfico de f(x) está abaixo do gráfico de g(x). Pelo gráfico, isso ocorre nos intervalos: -5/2 ≤ x ≤ -1 ou 1/2 ≤ x ≤ 3.

Desse modo:

S={x∈ℝ/ -5/2 ≤ x ≤ -1 U 1/2 ≤ x ≤ 3}

- // -

Agora, do jeito que você quer resolver, fica:

|4-x²|=4-x², se -2 ≤ x ≤ 2

|4-x²|=-4+x², se x < -2 ou x > 2

Para -2 ≤ x ≤ 2 (1):

|4-x²| ≤ (x+7)/2 -> 4-x² ≤ (x+7)/2 -> x ≤ -1 ou x ≥ 1/2 (2)

(1) Ո (2): -2 ≤ x ≤ -1 ou 1/2 ≤ x ≤ 2 (3)

Para x < -2 ou x > 2 (4):

|4-x²| ≤ (x+7)/2 -> -4+x² ≤ (x+7)/2 -> -5/2 ≤ x ≤ 3 (5)

(4) Ո (5): -5/2 ≤ x < -2 ou 2 < x ≤ 3 (6)

(3) U (6): S={x∈ℝ/ -5/2 ≤ x ≤ -1 U 1/2 ≤ x ≤ 3}

Nota: confira todas as contas, pois nesse horário nem meu óculos ajuda muito. Na primeira resolução eu pulei a parte dos cálculos e da construção gráfica, pois eu supus que isto você sabe fazer, do contrário, se houver dúvidas, me avise.

por biologiaéchato Sex 22 Dez 2017, 18:16

Muito obrigado, Giovana.
Sobra-lhe razão nisso que disseste, resoluções gráficas são, no geral fáceis e rápidas, principalmente quando se trabalha com uma escala de pontos relativamente pequena.

Grande abraço e feliz natal!

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