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por Oziel Seg 25 Set 2017, 10:15
Sejam A, B, C conjuntos tais que B ⊂ A ⊂ C. Seja X tal que A ∩ X = B, A ∪ X = C . Prove que X = (C \ A) ∪ B.
Vou demonstrar como eu fiz, corrijam-me se errei em algum ponto.
Fiz um diagrama de como imaginei que seria estes conjuntos, C seria o conjunto universo e a intersecção entre A e X seria B, mas não poderia provar isto sem usar princípios da álgebra e da lógica.
k ∈ (A ∩ X) ⇔ K ∈ B ⇔ K ∈ A e K ∈ X. (Se K ∈ A e K ∈ X, então K∈ B. )
K ∈ (A ∪ X) ⇔ K ∈ C ⇔ K ∈ A ou K ∈ X. (Se K ∈ A ou K ∈ X, então K ∈ C)
Isso implica que B ⊂ (A Ո X) e (A ∪ X) ⊂ C e C ⊂ (A ∪ X).
Portanto temos duas possibilidades para X, ou X = A ou X ≠ A. Supondo por absurdo que X = A, temos K ∈ A e K ∈ X, como (A Ո X) = B, isto implicaria em B = X = A, o que é absurdo visto que (A Ո X) deveria ser (A Ո X) = A = X, portanto X ≠ A ⇔ X = (C - A) ∪ B ⇔ (X - A) ∪ B = X.
Vou demonstrar como eu fiz, corrijam-me se errei em algum ponto.
Fiz um diagrama de como imaginei que seria estes conjuntos, C seria o conjunto universo e a intersecção entre A e X seria B, mas não poderia provar isto sem usar princípios da álgebra e da lógica.
k ∈ (A ∩ X) ⇔ K ∈ B ⇔ K ∈ A e K ∈ X. (Se K ∈ A e K ∈ X, então K∈ B. )
K ∈ (A ∪ X) ⇔ K ∈ C ⇔ K ∈ A ou K ∈ X. (Se K ∈ A ou K ∈ X, então K ∈ C)
Isso implica que B ⊂ (A Ո X) e (A ∪ X) ⊂ C e C ⊂ (A ∪ X).
Portanto temos duas possibilidades para X, ou X = A ou X ≠ A. Supondo por absurdo que X = A, temos K ∈ A e K ∈ X, como (A Ո X) = B, isto implicaria em B = X = A, o que é absurdo visto que (A Ո X) deveria ser (A Ո X) = A = X, portanto X ≠ A ⇔ X = (C - A) ∪ B ⇔ (X - A) ∪ B = X.
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