Análise combinatória

por superaks Sáb 12 Ago 2017, 15:14

Considere todas as sessenta e quatro sequências, com seis elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismo 0 e 1. Quantas dessas sequências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

Gabarito:

por Alisson Cabrini Sáb 12 Ago 2017, 18:45

o mais perto que cheguei:

I) 1.1.1.2.2.2= 8
II) 1.1.1.1.2.2= 4
III) 2.1.1.1.1.2 = 4
IV) 2.2.1.1.1.1= 4

8+4+4+4=20

I) fixa os 3 zeros no inicio
II) fixa o 1 na primeira posição e fixa os 3 zeros a partir da segunda posição
III) fixa o 1 na segunda posição e os 3 zeros a partir da terceira posição
IV) fixa o 1 na terceira posição e os zeros no final.

prova:

I) -->8 possibilidades:
000000
000001
000010
000011
000100
000101
000111
000110

II) --> 4 possibilidades
100000
100001
100010
100011

III) --> 4 possibilidades
010000
010001
110000
110001

IV) --> 4 possibilidades
001000
011000
101000
111000

Ainda procuro outras maneiras!

por Faxineiro do ITA Sáb 12 Ago 2017, 19:19

Achei 20 maneiras:
3 Zeros:
i) Nos extremos: 1x1x2x2 = 8 Maneiras
ii) Nos centros: 1x1x1x2 = 4 Maneiras

4 Zeros:
i) Nos extremos: 1x1x2 = 4 Maneiras
ii) Nos centros: 1x1x1 = 1 Maneira

5 Zeros:
i) 2 Maneiras

6 Zeros:
i) 1 Maneira

por superaks Sáb 12 Ago 2017, 21:18

alisson cabrini escreveu:o mais perto que cheguei:

I) 1.1.1.2.2.2= 8
II) 1.1.1.1.2.2= 4
III) 2.1.1.1.1.2 = 4
IV) 2.1.1.1.1.1= 2

8+4+4+2=18

I) fixa os 3 zeros no inicio
II) fixa os 3 zeros a partir da segunda posição e fixa o 1 na primeira posição
III) fixa o 1 na segunda posição e os 3 zeros a partir da terceira posição
IV) fixa o 1 na segunda e terceira posição e os zeros no final.

prova:

I) -->8 possibilidades:
000000
000001
000010
000011
000100
000101
000111
000110

II) --> 4 possibilidades
100000
100001
100010
100011

III) --> 4 possibilidades
010000
010001
110000
110001

IV) --> 2 possibilidades
011000
111000

Creio que não há algum repetido.
Ainda estou procurando outras maneiras!

Fiz no braço e achei 20. Porém eu queria uma resposta usando cálculo, para que eu podes se generalizar

por superaks Sáb 12 Ago 2017, 21:19

Faxineiro do ITA escreveu:Achei 20 maneiras:
3 Zeros:
i) Nos extremos: 1x1x2x2 = 8 Maneiras
ii) Nos centros: 1x1x1x2 = 4 Maneiras

4 Zeros:
i) Nos extremos: 1x1x2 = 4 Maneiras
ii) Nos centros: 1x1x1 = 1 Maneira

5 Zeros:
i) 2 Maneiras

6 Zeros:
i) 1 Maneira

Sua reposta bate, mas aparentemente foi por acaso. Com 5 zeros você tem 6 possibilidades

por **Diego A** Sáb 12 Ago 2017, 21:31

Ao meu ver seriam 32 possíveis...

Considerando os 3 zeros consecutivos igual a 1 número, então

_ _ _ _
1 2 2 2 = 8

Multiplicando por 4 para trocar a ordem = 4*8 = 32

por superaks Sáb 12 Ago 2017, 21:56

Diego A escreveu:Ao meu ver seriam 32 possíveis...

Considerando os 3 zeros consecutivos igual a 1 número, então

_ _ _ _
1 2 2 2 = 8

Multiplicando por 4 para trocar a ordem = 4*8 = 32

Também pensei nesse caminho, mas você estaria contando várias repetições pelo fato de existir apenas 2 dígitos

por Alisson Cabrini Dom 13 Ago 2017, 04:15

Pessoal, pelo que vi não é possível mais alguma combinação que satisfaça o enunciado além das 18 que já mostrei. Por favor mostrem qual seriam as duas que faltam então!

E até agora não achei a formula pra resolver esse problema, já tentei de muitas maneiras, mas só consegui resolvendo caso a caso pois as variações e exceções são muitas e vale mais a pena avaliar caso a caso do que estabelecer uma fórmula.

por superaks Dom 13 Ago 2017, 16:18

Consegui resolver.

Para 6 Zeros, temos 1 possibilidade

Para 5 zeros, temos 6, pois o um pode assumir qualquer um dos 6 algarismos.

Com 4 Zeros podemos pensar da seguinte forma.

A = 000

Permutando A110

4!/2! = 12

Agora descontam os casos em que A permuta com o 0

A011
1A01
11A0

12 - 3 = 9

Com 3 zeros

111A

4!/3! = 4

Somando tudo

1 + 6 + 4 + 9 = 20