Módulo

Pessoal, estava fazendo uma questão de simplificação e me deparei com uma situação onde tive de aplicar a definição de módulo. Após resolvido a questão fui no gabarito e encontrei uma resposta idêntica exceto pelo termo onde eu apliquei a definição de módulo. Desconfio seriamente que o gabarito esteja errado. A imagem que segue mostra o exercício, e o resultado dele é 4x raiz de (x^2 - 1) , sendo que o meu resultado deu exatamente isso com exceção do denominador, onde no gabarito é claramente 1 (omitido) e o meu deu x^2  - MÓDULO de (x^2 - 1). Gostaria de saber se houve erro no gabarito ou se eu apliquei (ou deixei de aplicar) algum conceito modular equivocadamente.

O gabarito está correto.
Você não precisava ter usado o módulo. Isso porque, se x² - 1 for negativo, então a expressão inicial já nem existe. O que se busca é uma expressão idêntica à inicial, ou seja, que apresente o mesmo valor dela, sempre que existir tal valor.
Veja:
\\ \text{I.}\, \sqrt{x^2} = x  \\ \text{II.}\, \sqrt{x^2} = |x| \\ \text{III.}\, \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x \\ \text{IV.}\, \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} \equiv x
I é uma igualdade verdadeira para todo x real não negativo, mas não é uma igualdade verdadeira para todo x real;
II é uma igualdade verdadeira para todo x real;
III não é uma igualdade verdadeira para todo x real (se x for negativo, o primeiro membro não existe e o segundo sim. Não se pode igualar algo que existe a algo que não existe);
IV é uma identidade verdadeira (no conjunto dos reais), porque, sempre que ambos os membros existirem, eles terão o mesmo valor.
Simplificar uma expressão é buscar uma identidade entre ela e outra mais simples.