Inequação Modular (Módulo em Módulo)

por pertinax Sáb 18 Abr 2015, 19:08

Venho com outra questão de inequação, dessa vez modular. Fiquei em dúvida pois não sei como procedo com uma inequação modular, com um módulo dentro de outro módulo, sendo que o primeiro parece uma inequação de 2º grau. Aqui vai o dito cujo: |x²+|x| -6| >= 2. Assim como a outro, devo estudar o sinal dessa inequação também...

por **Carlos Adir** Sáb 18 Abr 2015, 20:15

$\\ |x^2+|x|-6| \ge 2 \Rightarrow \left| \left(x+\dfrac{1}{2} \right )^2 - \dfrac{25}{4}\right| \ge 2$
Façamos (x+(1/2))² como y², então:
$\left| y^2 - \dfrac{25}{4}\right| \ge 2 \Rightarrow \begin{cases}y^2-\dfrac{25}{4} \le -2 \\ y^2-\dfrac{25}{4} \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y^2 \le \dfrac{17}{4} \\ y^2 \ge \dfrac{33}{4} \end{cases}$
Do primeiro caso temos que:
$\begin{cases}y^2 \le \dfrac{17}{4} \\ y^2 \ge \dfrac{33}{4} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{-\sqrt{17}}{2} \le y \le \dfrac{\sqrt{17}}{2} \\ y \le \dfrac{-\sqrt{33}}{2} \\ y \ge \dfrac{\sqrt{33}}{2} \end{cases}$
Assim, como y=x+(1/2), então:
$\begin{cases}\dfrac{-\sqrt{17}}{2} \le y \le \dfrac{\sqrt{17}}{2} \\ y \le \dfrac{-\sqrt{33}}{2} \\ y \ge \dfrac{\sqrt{33}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} \le x \le \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2} \\ x \le \dfrac{-1 -\sqrt{33}}{2} \\ x \le \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{2} \end{cases}$

Inequação Modular (Módulo em Módulo) TmCqoAO

Inequação Modular (Módulo em Módulo) TmCqoAO

por **rodrigoneves** Sáb 18 Abr 2015, 22:37

Boa noite! Permita-me sugerir uma resolução um pouco diferente.
Sabemos que x² = |x|², para todo x real. Então teremos, na sua equação
| | x | ^2 + | x | - 6 | \geqslant 2
E fazendo |x| = y, teremos
| y^2 + y - 6 | \geqslant 2 \Rightarrow y^2 + y - 6 \geqslant 2 \, \, \text{ou} \, \, y^2 + y - 6 \leqslant -2 \Rightarrow y^2 + y - 8 \geqslant 0 \, \, \text{ou} \, \, y^2 + y - 4 \leqslant 0
Agora basta resolver as duas inequações acima e fazer a sua reunião, atentando-se ao fato de que só nos interessam os intervalos onde y é maior ou igual a zero, e depois voltar e descobrir os intervalos de x.
Espero ter acrescentado!

por **Carlos Adir** Sáb 18 Abr 2015, 22:56

Em rodrigoneves, foi quase a mesma coisa. Mas perceba que você tirou o módulo indevidamente.
Isto é, por mais que y²+y seja positivo, temos o valor -6, que faz com que fique negativo.
Ou seja:
$\\ |y^2+y-6| = y^2+y-6 \Leftrightarrow y^2+y-6 \ge 0 \\ |y^2+y-6| = - \left(y^2+y-6 \right ) \Leftrightarrow y^2+y-6 \le 0$
Se y=0, temos que seria negativo.

por **rodrigoneves** Dom 19 Abr 2015, 09:32

Perfeitamente, companheiro, pode ver que eu abri as duas possibilidades. Se você desenvolver a partir de onde eu parei, vai perceber que os resultados alcançados são os mesmos. A única coisa que eu fiz foi trocar x^2 por |x|^2, o que é permitido já que a função x^2 é par. Abraços!