Volume com integrais

O volume do conjunto B é dado por:

$$
V = \int_{0}^{4} \int_{0}^{4} \int_{x}^{4x+2y} dz \, dy \, dx
$$

(i)Integração em \(z\):
\[
\int_{x}^{4x+2y} dz = 4x + 2y - x = 3x + 2y
\]
Substituímos o resultado da integral de \(z\) na expressão original para \(V\):
\[
V = \int_{0}^{4} \int_{0}^{4} (3x + 2y) \, dy \, dx
\]

(ii)Integração em \(y\):
\[
\int_{0}^{4} (3x + 2y) \, dy = 3x \int_{0}^{4} dy + 2 \int_{0}^{4} y \, dy
\]
Calculamos as integrais em \(y\):
\[
3x \int_{0}^{4} dy = 3x \cdot 4 = 12x
\]
\[
2 \int_{0}^{4} y \, dy = 2 \left(\frac{y^2}{2}\Bigg|_{0}^{4}\right) = 2 \cdot \frac{16}{2} = 16
\]
Portanto, a integral em \(y\) torna-se:
\[
\int_{0}^{4} (3x + 2y) \, dy = 12x + 16
\]

Substituímos na expressão para \(V\):
\[
V = \int_{0}^{4} (12x + 16) \, dx
\]

(iii)Integração em \(x\):
\[
\int_{0}^{4} (12x + 16) \, dx = 12 \int_{0}^{4} x \, dx + 16 \int_{0}^{4} dx
\]
Calculamos as integrais em \(x\):
\[
12 \int_{0}^{4} x \, dx = 12 \cdot \frac{x^2}{2}\Bigg|_{0}^{4} = 12 \cdot \frac{16}{2} = 96
\]
\[
16 \int_{0}^{4} dx = 16 \cdot 4 = 64
\]
Portanto, a integral em \(x\) resulta em:
\[
V = 96 + 64 = 160
\]

Portanto, o volume do conjunto \(B\) é \(160\) u.v.