(Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf

por Papanico Sáb 27 Abr 2024, 19:12

Questão 159) Um artista, para economizar, pretende saber a quantidade exata de tinta que usará para pintar uma tela quadrada com 1 m de comprimento. Sua arte é composta de um setor circular inscrito no quadrado com centro no ponto A, como na figura.

(Simulado SOMOS ENEM 2023) Triângulo, Quadrado, Circunf Screen10

Além disso, ele fará uma divisão no quadrado traçando um segmento do ponto médio E ao ponto C, e denotando por F a intersecção deste segmento com o limite do setor circular, traça um segmento FG formando um triângulo retângulo FGC, sendo esta a única região a qual ele pintará com uma tinta rara. A razão da área que o artista pintará com a tinta rara em relação a área total da tela será:
a) 4,0%
b) 6,25%
c) 9,0%
d) 12,5%
e) 21,5%

por **Elcioschin** Sáb 27 Abr 2024, 19:32

Resolvendo por GA:

Seja um sistema xOy com A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0,1) e E(0, 1/2)

Equação reta EC que passa por E(0, 1/2) e tem coeficiente angular m = 1/2:

y - 1/2 = (1/2).(x - 0) ---> y = x/2 + 1/2 ---> I

Equação do arco circunferência: x² + y² = 1 ---> II

Ponto G(xF, yF) --> I em II --> xF² + (xF/2 + 1/2)² = 1 --> Resolvendo -->

xF = 0,6 --> xG = 0,6 --> CG = CD - xG --> CG = 1 - 0,6 --> CG = 0,4

I ---> yF = 0,6/2 + 1/2 ---> yF = 0,8 ---> FG = 1 - 0,8 ---> FG = 0,2

Área do triângulo retângulo CGF ---> St = CG.FG/2 ---> Complete

por **Giovana Martins** Sáb 27 Abr 2024, 23:21

Um jeito por geometria plana:

[latex]\\\mathrm{\Delta EDG\ \sim\ \Delta FCG\ (Caso\ A.A.A.)\ \therefore\ \frac{DG}{CG}=\frac{ED}{FC}\ \therefore\ y=2x}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta EDG:EG=\sqrt{(1)^2+\left ( \frac{1}{2} \right )^2}\ \therefore\ EG=\frac{\sqrt{5}}{2}\ \therefore\ [cos(\theta),sin(\theta)]=\left ( \frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5} \right )}\\\\ \mathrm{Lei\ dos\ Cossenos\ no\ \Delta AEF:R^2=(AE)^2+(EF)^2-2\cdot AE\cdot EF\cdot cos(90^{\circ}+\theta)}\\\\ \mathrm{1=\frac{1}{4}+z^2+\frac{z\sqrt{5}}{5}, dado\ que\ cos(90^{\circ}+\theta)=-sin(\theta)\ \therefore\ z=\frac{3\sqrt{5}}{10}}\\\\ \mathrm{Pit\acute{a}goras\ no\ \Delta EFH:(1-2x)^2+\left ( \frac{1}{2}-x \right )^2=\left ( \frac{3\sqrt{5}}{10} \right )^2\ \therefore\ x=\frac{1}{5}\ \vee\ \cancel{\mathrm{x=\frac{4}{5}}}\ \therefore\ y=\frac{2}{5}}\\\\ \mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{[FCG]}{[ABCD]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\cdot y}{\ell ^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}}{(1)^2}=0,04\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Raz\tilde{a}o=4%}}}[/latex]

por **Giovana Martins** Sáb 27 Abr 2024, 23:25

Acho que por geometria plana há alguma saída com menos "firula", mas eu não consegui enxergar Embarassed

.

por **Medeiros** Dom 28 Abr 2024, 00:02

Giovana Martins escreveu:
Acho que por geometria plana há alguma saída com menos "firula", mas eu não consegui enxergar :oops: :P .

Tem sim, Giovana.

Você começou muito bem com a semelhança de triângulos obtendo y=2x (eq. 1).

Depois disto, complete o círculo e trace o prolongamento de FH até o outro lado do círculo cruzando o raio AB no ponto J. Então aplique potência do ponto J em relação ao círculo (teorema das cordas). Obtém
(2 - y).y = (1 - x)² ........ eq. 2

(1) em (2) -----> x=.... -----> y=.....

por **Giovana Martins** Dom 28 Abr 2024, 00:22

Medeiros escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Acho que por geometria plana há alguma saída com menos "firula", mas eu não consegui enxergar .

Tem sim, Giovana.

Você começou muito bem com a semelhança de triângulos obtendo y=2x (eq. 1).

Depois disto, complete o círculo e trace o prolongamento de FH até o outro lado do círculo cruzando o raio AB no ponto J. Então aplique potência do ponto J em relação ao círculo (teorema das cordas). Obtém
(2 - y).y = (1 - x)² ........ eq. 2

(1) em (2) -----> x=.... -----> y=.....

Excelente. Amanhã eu vou pegar para fazer desse jeito.

Para ser sincera, eu não ía lembrar desse Teorema das Cordas nunca. Está aí um assunto que eu praticamente não estudei, porque na época ele quase não caía nos vestibulares que eu prestava, daí não tenho o olho treinado para as construções que viabilizam esses teoremas.

Muito obrigada.

por **Giovana Martins** Dom 28 Abr 2024, 10:24

Muito obrigada, Medeiros. Realmente por potência de ponto fica bem mais elegante a solução e mais ágil.

[latex]\\\mathrm{\Delta EDG\ \sim\ \Delta FCG\ (Caso\ A.A.A.)\ \therefore\ \frac{DG}{CG}=\frac{ED}{FC}\ \therefore\ y=2x}\\\\ \mathrm{Por\ Pot\hat{e}ncia\ de\ Ponto:IN\cdot NB=NF\cdot NJ}\\\\ \mathrm{(2-2x)\cdot (2x)=(1-x)^2\ \therefore\ x=\frac{1}{5}\ \vee\ \cancel{\mathrm{x=1}}\ \therefore\ y=\frac{2}{5}}\\\\ \mathrm{Raz\tilde{a}o=\frac{[FCG]}{[ABCD]}=\frac{\frac{1}{2}\cdot x\cdot y}{\ell ^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}}{(1)^2}=0,04\ \therefore\ \boxed{\mathrm{Raz\tilde{a}o=4%}}}[/latex]