Equações Trigonométricas03

Determine o conjunto solução da equação | sen 2x | = 1/2


R: S = { x E R/ x = (+/-) (pi/12) + k*pi ou x = (5*pi/12) + k*pi } ; k E Z

olá,
quem for acompanhar, é conveniente que desenhe um círculo trigonométrico (15º em 15º) -- 15º = pi/12.

condição 1
Se sen(2x) ≥ 0, ou seja 0 ≤ 2x ≤ pi ----> 0 ≤ x ≤ pi/2, então |sen(2x)| = sen(2x).
Assim, sen(2x) = 1/2. Portanto,
2x = pi/6 ± 2k*pi ..........ou.......... 2x = 5pi/6 ± 2k*pi
x = pi/12 ± k*pi ...........ou........... x = 5pi/12 ± k*pi

condição 2
Se sen(2x) < 0, ou seja pi < 2x < 2pi ----> pi/2 < x < pi, então |sen(2x)| = -sen(2x).
Assim, -sen(2x) = 1/2 ------> sen(2x) = -1/2. Portanto,
2x = 7pi/6 ± 2k*pi ..........ou.......... 2x = 11pi/6 ± 2k*pi
x = 7pi/12 ± k*pi ...........ou........... x = 11pi/12 ± k*pi

Juntando tudo, temos o conjunto dos possíveis valores de x:
x = { pi/12 , 5pi/12 , 7pi/12 , 11pi/12 } ± k*pi .............. (resposta imediata)

Mas, 7pi/12 = (pi/12 + pi/2) e 11pi/12 = (5pi/12 + pi/2). Então podemos simplificar aquele conjunto para:
x = { pi/12 , 5pi/12 } ± k*pi/2

Porém, 5pi/12 - pi/2 = -pi/12.

Então, x = {x E R | x = ±pi/12 ±k*pi/2}

Olá Medeiros,

Valeu pela solução, obrigado.

Um abraço e um ótimo feriado para vc.