O Número de Ouro e os arcos de 36º e 72º

Primeira parte

Vamos provar que, num triângulo isósceles de ângulos da base medindo 72º, os lados congruentes se relacionam com a base pela razão áurea.
Inicialmente, não pensemos no valor numérico dos ângulos em graus; basta construirmos um triângulo ABC de ângulos medindo θ, 2θ e 2θ. (É o chamado Triângulo Áureo) Além disso, adotaremos como unidade de medida a base; assim, esta passa a medir 1.



Aplicamos a lei dos senos aos lados AB e BC:
\frac{x}{\text{sen}\, 2\theta} = \frac{1}{\text{sen}\, \theta} \Rightarrow x = \frac{\text{sen} \, 2\theta}{\text{sen} \, \theta} = \frac{2\text{sen}\,\theta \cos{\theta}}{\text{sen} \,\theta} \Rightarrow \cos{\theta} = \frac{x}{2} \, \text{(I)}
Agora aplicamos  a lei dos cossenos ao lado AB:
x^2 = x^2 + 1^2 - 2 \cdot x \cdot 1 \cdot \cos{2\theta} \Rightarrow \cos{2\theta} = \frac{1}{2x} \, \text{(II)}
Das conhecidas identidades trigonométricas,
\cos{\alpha+\beta} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \text{sen} \, \alpha \text{sen}\, \beta
e
\text{sen}^2 \, \alpha + \cos^2{\alpha} = 1
vem
\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1
Usamos os resultados I e II na identidade acima.
\frac{1}{2x} = 2 \left ( \frac{x}{2} \right )^2 - 1 \therefore x^3 - 2x - 1 = 0
É fácil perceber que -1 é raiz da equação obtida. Efetuando a divisão do polinômio por x + 1, obtemos sua fatoração:
\begin{bmatrix} \, & 1 & 0 & -2 & -1\\ -1 &\,  &-1  & 1 & 1\\ \, & 1 &-1  &-1  &0  \end{bmatrix}

x^3 - 2x - 1 = \left ( x+1 \right ) \left ( x^2 - x - 1\right )
Claro que não nos interessa a possibilidade de x ser igual a -1, pois trata-se do comprimento de um segmento.
Concluímos, pois, que a medida do lado em questão satisfaz a equação:
x^2 - x - 1 = 0
Eis a equação que define o número áureo. Suas conhecidas raízes são o número de ouro e seu conjugado:
\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} , \bar{\varphi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
De fato, o último é um número negativo. Concluímos, portanto, que os lados congruentes do triângulo assim construído medem exatamente o número áureo; como adotamos, de início, a base como 1, finalmente concluímos, por semelhança, que qualquer triângulo de ângulos 36º, 72º e 72º encerra entre seus lados a Razão Áurea.
\boxed{x = \varphi}

Segunda parte

Vamos usar os resultados anteriores para calcular os cossenos de 36º (pi/5) e 72º (2pi/5). 
É claro que, pela soma dos ângulos internos do triângulo, 
2\theta + 2\theta + \theta = \pi \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{5} .
Usando a equação I:
\cos {\theta} = \frac{x}{2} = \frac{\varphi}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}
E, usando a equação II:
\cos {2\theta} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\varphi}
Observando a equação de definição do número áureo, vemos que o produto das raízes desta é igual a -1; assim, \bar{\varphi} = \frac{-1}{\varphi}  
donde
\cos {2\theta} = \frac{-\bar{\varphi}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}
Assim, encontramos os cossenos (e, imediatamente, as demais razões trigonométricas) dos arcos 36º e 72º.

\boxed{\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}}
\boxed{\cos{\frac{2\pi}{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}

Notas: