Fibonacci e o número de ouro

Sendo Fn o termo de ordem n da sequência de Fibonacci, mostre que
,
 Para todo natural n>3.

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3

F4/(F4 - 1) = 3/2 = 1,5

Como a sequência de Fibonacci é estritamente crescente é só retorna números inteiros, então essa razão será sempre menor ou igual a 1,5 para n ≥ 4.

Em geral

Se a é um inteiro e a ≥ 3.

a/(a - 1) = 1 + 1/(a - 1)

O maior valor possível para 1/(a - 1) é quando a = 3, ou seja, 1/2 = 0,5.

Então a/(a - 1) ≤ 1,5 para a inteiro e maior ou igual a 3.

De forma análoga

Fn/(Fn - 1) ≤ 1,5 para todo n ≥ 4.

Esse limitante superior é melhor que 1,7.

Opa, me desculpe. Não sei usar direito o latex e acabei escrevendo errado sem querer!
 Na verdade é a divisão do enésimo termo de Fibonacci pelo enésimo menos 1. Era para o -1 aparecer seguido do n.

OBMarcos escreveu:Opa, me desculpe. Não sei usar direito o latex e acabei escrevendo errado sem querer!
 Na verdade é a divisão do enésimo termo de Fibonacci pelo enésimo menos 1. Era para o -1 aparecer seguido do n.

 Consegui editá-lo corretamente agora.

Acho que existe uma pequena falha na solução

F4 = 3 ---> F5 = 5

F5/F4 = 5/3 ---> F5/F4 ~= 1,666.... 

1,666 ... > 1,5 ---> Logo, 1,5 não é o valor máximo.

Elcioschin escreveu:Acho que existe uma pequena falha na solução

F4 = 3 ---> F5 = 5

F5/F4 = 5/3 ---> F5/F4 ~= 1,666.... 

1,666 ... > 1,5 ---> Logo, 1,5 não é o valor máximo.

O enunciado anterior era:

Fn/(Fn - 1)

Ou seja, era a razão entre o e-nesimo termo de Fibonacci pelo mesmo e-nesimo termo de Fibonacci menos 1. Que equivale a razão entre dois números consecutivos.

Seja an o quociente entre dois termos de Fibonacci consecutivos.

an = fn/f(n - 1)

Temos:

a2 = 1/1 = 1

a3 = 2/1 = 2

a4 = 3/2 = 1,5

a5 = 5/3 = 1 + 2/3 ≈ 1,66

a6 = 8/5 = 1 + 3/5 ≈ 1,6

a7 = 13/8 = 1 + 5/13 = 1,625

Perceba que, a7 > a6, a6 < a5, a5 > a4, a4 < a3, a3 > a2

Ou seja, aparentemente vai alternando o tamanho das razões. E também parece que a5 é maior que todas as outras para todo n > 6. Tente verificar se a5 > an para todo n > 5.

Um fato que pode te ajudar é:

f²(n) + (- 1)ⁿ = f(n + 1) . f(n - 1)

Se realmente a5 > an para todo n > 5, então você teria que:

Fn/F(n - 1) ≤ 5/3

Para todo n > 3.