Número de Ouro - Questão do Colégio Militar de Curitiba

por Guilherme-Fernandes-1985 Qua Fev 15 2023, 12:45

O número de ouro dos gregos é dado por uma expressão que envolve uma raiz quadrada. Essa expressão foi muito usada pelo escultor grego Fídeas e, em homenagem a ele, usamos a letra fi ([latex]\phi [/latex]) para representar o número de ouro. Podemos identificar aproximações desse número em muitos elementos de arquitetura, em esculturas e em pinturas gregas. Por exemplo, o quociente da medida de comprimento da largura (L) pela medida de comprimento da altura (H) do Partenon se aproxima do número de ouro.

Dada a expressão [latex]\phi ^{2} - \phi - 1 = 0[/latex] , podemos afirmar que o valor de [latex]\phi ^{5} [/latex] corresponde a

(A) [latex]2\phi ^{10} - 1[/latex]

(B) [latex]2\phi ^{10} + 1[/latex]

(C) [latex]5\phi + 3[/latex]

(D) [latex]3\phi + 3[/latex]

(E) [latex]2\phi ^{5} - 1[/latex]

por **Elcioschin** Qua Fev 15 2023, 13:00

Calculando ---> φ = (√5 + 1)/2

(a + b)⁵ = a⁵ + 5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + b⁵

por Guilherme-Fernandes-1985 Qua Fev 15 2023, 13:12

Elcioschin escreveu:Calculando ---> φ = (√5 + 1)/2

(a + b)⁵ = a⁵ + 5.a⁴.b + 10.a³.b² + 10.a².b³ + 5.a.b⁴ + b⁵

Desculpe, mas não entendi.

por al171 Qua Fev 15 2023, 14:06

\[
{\color{red}{\varphi^2 = \varphi + 1}}
\]
Vamos calcular \( \varphi^4\):
\[
\begin{align*}
\varphi^4 & = \varphi^2 \cdot \varphi^2 \\
& = (\varphi + 1) \cdot (\varphi + 1) \\
& = { \color{blue}{\varphi^2} } + 2 \varphi + 1 \\
& = {{\color{blue}{ \varphi + 1} }} \ {\color{d}{ + \ 2 \varphi + 1}} \\
& = 3\varphi + 2
\end{align*}
\]
Assim, \( \varphi^5 = \varphi^4 \cdot \varphi \):
\[
\begin{align*}
\varphi^5 & = (3\varphi + 2) \cdot \varphi \\
& = 3{ \color{red}{\varphi^2} } + 2\varphi \\
& = 3 ( { \color{red}{\varphi + 1} } ) + 2 \varphi \\
& = 5 \varphi + 3
\end{align*}
\]
\( \text{Resposta: (C)} \).