Questão do Colégio Militar do Rj Dúvida!!!!!

por ismael1008,3 Dom 10 Jul 2016, 22:00

5) Seja (a,b,c,d) a quadrúpla de números inteiros tais que 52^a.77^b.88^c.91^d = 2002. O valor de a+b-c-d é igual a?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

CMRJ - 2008-2009

Por favor me tirem essa dúvida

por **Elcioschin** Dom 10 Jul 2016, 22:23

52^a.77^b.88^c.91^d = 2002

(2².13)^a.(7.11)^b.(2³.11)^c.(7.13)^d = 2¹.7¹.11¹.13¹

(2²)^a.13^a.7^b.11^b.(2³)^c.11^c.7^d.13^d = 2¹.7¹.11¹.13¹

2^{(2.a + 3.c)}.7^{(b + d)}.11^{(b + c)}.13^{(a + d)} = 2¹.7¹.11¹.13¹

2.a + 3.c = 1
b + d = 1
b + c = 1
a + d = 1

Calcule a, b, c, d e some

por ismael1008,3 Dom 10 Jul 2016, 22:31

Obrigado Mestre DOHKO DE LIBRA por tirar minha dúvida e muito obrigado por participar desse fórum graças a ele consigo tirar minhas dúvidas e fortalecer a minha base nas exatas Very Happy

por **gabrieldpb** Dom 10 Jul 2016, 22:32

Olá Ismael! Nessa questão você tem que fatorar 2002, o que vamos fazer por meio do MMC:
2002|2
1001|7
143 |11
13 |13
1

Logo, 2002=2*7*11*13

Do enunciado, temos que:
52=2²*13
77=7*11
88=2³*11
91=7*13

Então:
2002=52^a \cdot 77^b\cdot 88^c \cdot 91^d\\ 2 \cdot 7\cdot 11\cdot 13= (2^2\cdot 13)^a \cdot (7\cdot11)^b\cdot(2^3\cdot11)^c\cdot(7\cdot13)^d

E dai:

2^1\cdot7^1\cdot11^1\cdot13^1=2^{(2a+3c)}\cdot7^{(b+d)}\cdot11^{(b+c)}\cdot13^{(a+d)}

Como os fatores 2,7,11 e 13 são primos, as potências devem ser correspondentes:

\left\{\begin{matrix} 2a+3c=1\\ b+d=1\\ b+c=1\\ a+d=1 \end{matrix}\right.

Resolvendo: a=2, b=2, c=-1, d=-1

a+b-c-d=6

Abraço!

por ismael1008,3 Dom 10 Jul 2016, 22:33

Vlw grabrielzão por me ajudar com essa nova resolução quanto mais melhor obrigado aew irmão e por favor continue no fórum salvando a gente que tá embasando Very Happy