Soma dos quadrados

Como escolher dois números não negativos tais que sua soma seja 1 e a soma dos seus quadrados seja:

a) a maior possível?
b) a menor possível?

letra b: para a soma ser a menor possivel acredito que esta seja igual a zero.

Podemos utilizar a desigualdade de médias, cuja prova está no link:
A Desigualdade das Médias

Assim, se temos dois números não negativos, cuja soma dá 1, então:

Assim, a maior possível ocorre quando a expressão a²+b² tende a infinito. 
Por exemplo, se b=-999 e a=1000, teremos que a soma dos quadrados dará um número muito grande.
Contudo, foi restringido que são dois números positivos.
Isso indica que a=1 e b=0, ou a=0 e b=1. O que nos dá a²+b²=1, esse é o maior valor que a soma dos quadrados satisfaz.
O menor ocorre quando ocorre a igualdade, isto é, a²+b²=1/2, e isso só ocorre quando a=b=1/2, então o menor valor é 1/2.


Outra maneira é através de geometria.
Desenhamos um triângulo, cuja soma de dois lados dá 1.

No caso temos D=(1,0), e foi levando em B um segmento, assim temos que AB+BC = 1.
Temos que o maior valor possível que a hipotenusa aceita é quando o ponto C é o ponto D, ou seja, um dos lados do triângulo é 1 e o outro é zero. E portanto a²+b²=1.
O menor ocorre quando a hipotenusa é o menor possível. Isso acontece quando AC é o mínimo, e se formos tomar vários circulos em torno de A, teremos algo parecido como o abaixo:

Isso acontece quando B é o ponto médio de A e D. Ou seja, AB = AD/2 = 1/2 ---> a²+b²=1/2

alansilva escreveu:Como escolher dois números não negativos tais que sua soma seja 1 e a soma dos seus quadrados seja:

a) a maior possível?
b) a menor possível?

Bom dia, Alan.

x(max) = 1; x(min) = 0
y(max) = 1; y(min) = 0

x + y = 1
y = 1 - x

x² + y² = x² + (1-x)² = x² + 1 - 2x + x² = 2x² - 2x + 1

f(x) = 2x² - 2x + 1

O gráfico dessa função é o de uma parábola com concavidade voltada para cima (coeficiente de x² é positivo), indicando que essa parábola tem um mínimo em seu vértice.

Coordenadas do vértice:
Xv = -b/2a = 2/(2*2) = 2/4 = 1/2
Yv = 2(1/2)² - 2(1/2) + 1 = 2(1/4) - 1 + 1 = 1/2

Resposta à questão (b):
A soma de seus quadrados tem valor mínimo no ponto {(1/2),(1/2)}.

A seguir, faça um esboço dessa parábola, da seguinte forma:

Trace os eixos coordenados X e Y, assinalando com 0 o cruzamento deles.
Marque os pontos 1,0 no eixo dos X e 0,1 no eixo dos Y que serão os limites do gráfico.
Marque o ponto [(1/2),(1/2)], coordenadas do vértice da parábola.
Trace o esboço da curva parabólica, iniciando em seu limite à esquerda, no ponto [(0,1)]  situado sobre o eixo dos Y, descendo até seu ponto mínimo[(1/2),(1/2)], e subindo novamente até atingir o limite à direita, no ponto [(1,1)]; isto porque os pontos x e y não podem ser negativos conforme o texto da questão.

Assim fazendo, dá para se observar claramente, dentro das limitações impostas pela questão:
a) 1 (na curva, tanto à esquerda como à direita)


b) 1/2 (ponto mínimo no vértice da curva)






Um abraço.