Soma de quadrados perfeitos

por amms Sáb 14 Fev 2015, 17:50

A diferença entre dois quadrados perfeitos é 13.Qual a soma ?

por **Carlos Adir** Sáb 14 Fev 2015, 18:10

Se a diferença entre dois quadrados é impar, então um deles é impar e o outro é par. Logo, podemos escrever:
$\\ \left(2n+1 \right )^2-\left(2m \right )^2=13 \\ \left(2n+1+2m \right )\left(2n+1-2m \right )=13 \\ \left(2(n+m)+1 \right )\left(2(n-m)+1 \right )=13$
Segue que n>m pois o produto é positivo, pois n e m são positivos.
Como 13 é impar, então um dos termos é 13, e o outro é 1:
$\\ \begin{cases}2\left(n+m \right )+1=13 \\ 2\left(n-m \right )+1=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} n+m=6 \\ n-m=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}n=3 \\ m=3 \end{cases}$
Agora a soma dos quadrados:
$\\ \left(2 \cdot 3 + 1 \right )^2+\left(2 \cdot 3 \right )^2=85$

Resposta: 85