Quadrados perfeitos

por Convidado Ter 13 Abr 2010, 19:10

Prove que se $n\in N$ e $n$ é quadrado perfeito então $n$ tem a forma $8k+1,\,\,\,k\in N$

obrigado

por Viniciuscoelho Ter 13 Abr 2010, 19:22

n=8k+1
k=1 --> n = 9 (é quadrado perfeito)
k=2 --> n = 17 (não é quadrado perfeito)
k=3 --> n = 25 (é quadrado perfeito)
k=4 --> n = 33 (não é quadrado perfeito)
k=5 --> n = 41 (não é quadrado perfeito)
Logo: A formula não é válida.
16?
Se n= 16, 16 = 8k + 1 --> n = 15/8 (não é quadrado perfeito).
Logo essa fórmula não esta correta.
Portanto não é possível provar algo que esta errado, só o contrário: provar que está errado.

por Convidado Ter 13 Abr 2010, 19:34

Caio Mucio escreveu:Prove que se $n\in N$ e $n$ é quadrado perfeito e ímpar então $n$ tem a forma $8k+1,\,\,\,k\in N$

obrigado

desculpe a falha na digitação

por Viniciuscoelho Ter 13 Abr 2010, 19:43

Se "n" é quadrado pérfeito e ímpar, e "n" tem a forma "n=8k+1"

Então para todo "k" há um quadrado perfeito que seja "ímpar".
Logo
Se
k=1, n = 8 + 1 -->n= 9 (é quadrado perfeito)
k=2, n = 16 + 1 -->n= 17(não é quadrado perfeito)
Então a fórmula não é válida, pois para "k=2" produziu um "n" que não é quadrado perfeito.

por **Euclides** Ter 13 Abr 2010, 19:49

Viniciuscoelho escreveu:Se "n" é quadrado pérfeito e ímpar, e "n" tem a forma "n=8k+1"

Então para todo "k" há um quadrado perfeito que seja "ímpar".
Logo
Se
k=1, n = 8 + 1 -->n= 9 (é quadrado perfeito)
k=2, n = 16 + 1 -->n= 17(não é quadrado perfeito)
Então a fórmula não é válida, pois para "k=2" produziu um "n" que não é quadrado perfeito.

Oi vinícius,

" n é quadrado perfeito e ímpar" ---> isto é o que você sabe...

"então n tem a forma 8k+1" ---> é o que você precisa provar.

por Viniciuscoelho Ter 13 Abr 2010, 21:21

Tem razão, Mestre.

2° tentativa:

Se "n = ímpar", e como sabemos "impar.impar=impar", então (impar)²=impar;
isso quer dizer que "todo quadrado perfeito impar é formado pelo quadrado de um número ímpar qualquer".

ímpares possíveis:
1,3,5,7,9,
11,13,15,17,19,
todos os números ímpares terminam em (_1;_3;_5;_7;_9).

Logo: "ímpar(x)" - 1 ="par(y)"

n=8k+1
n-1=8k

"par(y)"=8k --> 8 ="par(p)"
"par(y)"/"par(p)"=k

Se "k" é inteiro, então "par(y)"/"par(p)" tem que ser inteiro.

"par(p)"=2^3=8
impar = 1², 3², 5², 7², 11², 13², 15², 17², 19² , 21², 23², 25², 27², 29²...
n = 1 , 9 , 25 , 49 , 121 ,169 ,225 ,289 ,361 ,441 ,529 625, 729, 841...
par(y)= 0 , 8 , 24 , 48 , 120 ,168 ,224 ,288 ,360 ,440 ,528 624, 728, 840...

Se "k" é inteiro, então "par(y)"/"par(p)" tem que ser inteiro.
Condição 1:
Para "k" ser inteiro, então "par(p)" deve está contido na 'fatoração de par(y)'.

Condição 1.1:
"Números divisíveis por 8" são os números:

"São divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96).
Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ou 92).

* 10840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8 Sim
* 15000 → 000 Sim
* 49736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8 Sim"
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Crit%C3%A9rios_de_divisibilidade)

Essaz condições até 23² são válidas, como se pode constatar:

Para garantir que essas condições são para todo "n", teria que se fazer esse procedimento até 100. Se forem divisíveis por 8; está provado que "n= 8k+1" é válido para que "n" seja quadrado perfeito e ímpar; para um k natural.

Acho que essa não é a solução mais inteligente... Vamos esperar a solução do Mestre Euclides e Elcio.

por **Euclides** Qua 14 Abr 2010, 00:06

seja $n=m^2\hspace{30}$ e se n é impar, então m é ímpar também.

$n=(2p-1)^2\hspace{30}\to n=4p^2-4p+1\hspace{30}\to n=4p(p-1)+1$

$(p-1)p$ é o produto de dois naturais consecutivos, logo é par

$(p-1)p=2k\hspace{30}\to n=4p(p-1)+1\hspace{30} {\color{blue} n=8k+1}$

por Convidado Qua 14 Abr 2010, 10:20

obrigado a ambos.

por Viniciuscoelho Qua 14 Abr 2010, 11:12

Olá, Caio, muita generosidade sua agradecer a minha "solução". O mérito é todo do Mestre Euclides!

Abraços

por **Adam Zunoeta** Sex 27 Ago 2010, 03:36

Euclides escreveu:seja $n=m^2\hspace{30}$ e se n é impar, então m é ímpar também.

$n=(2p-1)^2\hspace{30}\to n=4p^2-4p+1\hspace{30}\to n=4p(p-1)+1$

$(p-1)p$ é o produto de dois naturais consecutivos, logo é par

$(p-1)p=2k\hspace{30}\to n=4p(p-1)+1\hspace{30} {\color{blue} n=8k+1}$