Soma de quadrados

Calcule o valor 1²-2²+3²-4²+5²-...+91²

Resp.: 4186

igormf escreveu:Calcule o valor 1²-2²+3²-4²+5²-...+91²

Resp.: 4186

Boa tarde, Igor.

Ver sobre este assunto, clicando no link abaixo:

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/curiosidades_matematica/soma_dos_quadrados/somaquadrado.php

Sn = (n+1)n(2n+1)/6

S91 = (91+1)91(2*91+1)/6

S91 = (92 * 91 * 183)/6

S91 = 1532076/6

S91 = 255346

Desse total deve-se subtrair 2 vezes a soma dos quadrados pares:
2(2² + 4² + 6² + ... + 90²)

2² + 4² + 6² + ... + 90² = 4*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²)

Logo,
2(2² + 4² + 6² + ... + 90²) = 2*4*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²) = 8*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²)

Por sua vez,
S45 = (45+1)45(2*45+1)/6 = 46*45*91/6 = 188370/6 = 31395

Então,
8*(1² + 2² + 3³ + ... + 45²) = 8*31395 = 251160

Assim sendo, o valor procurado é:
S91 - 8*S45 = 255346 - 251160 = 4186



Um abraço.

Olá igor.
Esse foi o método de resolução que eu consegui encontrar:
Lembre-se que a²-b²=(a+b)(a-b)
1²-2²+3²-4²+5²-...+91²= 
(-1)(1+2)+(-1)(3+4)+(-1)(5+6) .....(-1)(89+90) + 91²=
Colocando -1 em evidência:
-[(1+2)+(3+4)+(5+6)....(89+90)] + 91²=
-[(4x1-1) + (4x2-1) + (4x3-1)...(4x45-1)] + 91² 
Repare que haverá -1 quarenta e cinco vezes.
-[-45 + (4x1) + (4x2) + (4x3)...(4x45)] + 91² 
-[-45 + 4(1+2+3+4...45)] + 91² 

*Em uma p.a a soma de uma sequência de números é a metade da soma do produto da soma com a diferença deles somado com a soma dos dois números : S = (S*D + S)/2 

Assim,
(1+2+3+4...45) = S = (46*44 + 46)/2  => S = 1035
-[-45 + 4(1035)] + 91² =
-[-45 + 4140 ] + 8281=
-4095+8281 = 4186


Um abraço.