Soma dos quadrados das raízes

Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x^5 - 8x³ + 6x² + 7x - 6 = 0

Sem gab.

Dá para resolver tranquilo por B.Ruffini e pelo teorema das raízes racionais

De cara dá para ver que 1 e -1 são raízes.

Só abaixar o grau e descobrir as outras (-3) e 2.
1 é raiz dupla

vlw !obrigado :bball:

Nem precisa encontrar as raízes, basta aplicar produtos notáveis:

Sejam a, b, c, d, e as raízes:
(a + b + c + d + e)² = a² + b² + c² + d² + e² + 2(ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de)
--> a² + b² + c² + d² + e² = (a + b + c + d + e)² - 2(ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de)

Por Girard:
a² + b² + c² + d² + e² = 0² - 2 . (-8 ) = 16

raimundo pereira escreveu:Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x^5 - 8x³ + 6x² + 7x - 6 = 0

Sem gab.

Tenho outro modo de fazer.

Usando as Relações de Girard, descobre-se que a soma das raízes (-b/a) é 0 e que o produto das raízes combinados 2 a 2(c/a) vale (-8 ).

Então, considerando x1, x2, x3, x4 e x5 as raízes desse polinômio:

x1 + x2 + x3 + x4+ x5 = 0 --> Elevando-se ao quadrado de ambos os lados da equação

(x1 + x2 + x3 + x4 + x5)² = 0

x1² + x2² + x3² + x4² + x5² + (2.x1.x2 + 2.x1.x3 + ... + 2.x4.x5) = 0 --> Perceba que a expressão entre parênteses corresponde ao dobro da soma da combinação dos elementos da raíz dois a dois, que vale -8.

x1² + x2² + x3² + x4² + x5² + 2 . (-8 )= 0

x1² + x2² + x3² + x4² + x5² = 16

Acredito que seja isso ;]

Espero ter ajudado.

*Edit: estava resolvendo quando mauk respondeu. Desculpa, fui mais lento. xD

vlw! feras.
Obrigado.