A Desigualdade das Médias

Antes de demonstrar a desigualdade das médias, é necessário demonstrar duas outras desigualdades que serão auxiliares.

Tópicos de matemática de Carlo A. Gomes?

Não, lá eles não fazem assim, que eu me lembre. Acho que eles não demonstram a segunda desigualdade. A maior parte disso foi retirado de umas anotações pessoais minhas, mas por esse ser "o melhor caminho", todas demonstrações ficam parecidas.

Perdoe minha ignorância, mas x1.x2.x2.....xn=1, somente se x1=x2=...=xn=1. Nesse caso os termos devem ser todos iguais a 1 por condição imposta mesmo?
Pois pode-se ter 4.¼.3.⅓.2.½.1 = 1, por exemplo?

Bem, a resposta para a sua pergunta está justamente na demonstração da desigualdade 1, na parte II). Portanto, não é uma condição imposta, mas demonstrada.
Na parte II) é demonstrado que se nem todos os números são iguais, podemos chegar em:
x₁ + x₂ + ... + x_k+1 ≥ k + 1 + (1-x_k+1)(x_k - 1)
Note que o termo em negrito é > 0 e portanto o resultado será sempre ≥ k + 1. Por outro lado, note x_k e x_k+1 são termos quaisquer pegos ao acaso que para a desigauldade ser igual a k + 1, precisamos ter que o produto em negrito seja 0. Dessa forma, x_k+1 e x_k (ou seja, quaisquer termos) devem ser iguais a 1.

Uma outra forma de pular essa "desigualdade criativa" usada para provar a desigualdade é através da desigualdade de Jensen que nos garante que:

Porém, este método foge dos níveis elementares.

Realmente Ashitaka, deixei de perceber o II) como o segundo caso. Vlw!