Desigualdade das médias

por Anderson_007 Ter 23 Abr 2013, 10:51

Sendo x + y + z = 3, prove que:
Desigualdade das médias Semttulostey

por Felipe Rangel Sex 26 Abr 2013, 22:56

Manipulando a tese, temos:

$\small \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq xy+xz+yz \\\\ \Leftrightarrow \ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2} \\\\ \Leftrightarrow \ x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z} \geq (x+y+z)^2 \\\\ \Leftrightarrow \ x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z}\geq 9$

Mas pela desigualdade das médias:

$\small \\ \frac{x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}}{3} \geq \sqrt[3]{x^2.\sqrt{x}.\sqrt{x}} \Rightarrow x^2+2\sqrt{x} \geq 3x \\\\ \frac{y^2+\sqrt{y}+\sqrt{y}}{3} \geq \sqrt[3]{y^2.\sqrt{y}.\sqrt{y}} \Rightarrow y^2+2\sqrt{y} \geq 3y \\ \frac{z^2+\sqrt{z}+\sqrt{z}}{3} \geq \sqrt[3]{z^2.\sqrt{z}.\sqrt{z}} \Rightarrow z^2+2\sqrt{z} \geq 3z \\$

Somando as equações acima:

$\small x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z} \geq 3(x+y+z) \\ \Leftrightarrow \ x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z} \geq 9 \ _{\blacksquare}$

Créditos: Um Fera aqui do forum.

por Anderson_007 Dom 28 Abr 2013, 12:18

Rapaz, parabéns, gostei de ver. Muito bom mesmo! =)

por **Robson Jr.** Seg 29 Abr 2013, 10:14

Felipe Rangel escreveu:Manipulando a tese, temos:

$\small \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq xy+xz+yz \\\\ \Leftrightarrow \ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2} \\\\ \Leftrightarrow \ x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z} \geq (x+y+z)^2 \\\\ \Leftrightarrow \ x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z}\geq 9$

Mas pela desigualdade das médias:

$\small \\ \frac{x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}}{3} \geq \sqrt[3]{x^2.\sqrt{x}.\sqrt{x}} \Rightarrow x^2+2\sqrt{x} \geq 3x \\\\ \frac{y^2+\sqrt{y}+\sqrt{y}}{3} \geq \sqrt[3]{y^2.\sqrt{y}.\sqrt{y}} \Rightarrow y^2+2\sqrt{y} \geq 3y \\ \frac{z^2+\sqrt{z}+\sqrt{z}}{3} \geq \sqrt[3]{z^2.\sqrt{z}.\sqrt{z}} \Rightarrow z^2+2\sqrt{z} \geq 3z \\$

Somando as equações acima:

$\small x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z} \geq 3(x+y+z) \\ \Leftrightarrow \ x^2+2\sqrt{x}+y^2+2\sqrt{y}+z^2+2\sqrt{z} \geq 9 \ _{\blacksquare}$

Créditos: Um Fera aqui do forum.

ROAAARRGH Felipe monstro ;P Tira esses créditos daí, mané.