Desigualdade de Médias

por emdb31 Seg 06 Nov 2017, 11:11

Considere a desigualdade de médias e mostre que

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \geq \frac{64}{a+b+c+d}$

Tentei fazer M. Aritimetica > M. Geometrica para cada termo da parte esquerda da equação, mas sem sucesso... por serem 4 termos a raiz da geometrica fica com índice 4

por evandronunes Seg 06 Nov 2017, 14:01

Utilize a Desigualdade de Cauchy-Schwarz:

$\left( \sum_{k=1}^n x_k y_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n y_k^2 \right)$

Para esta questão pegue:

$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2).(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2) \geq (x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2$

Agora seja:

$x_1=\sqrt{a}, \ \ x_2=\sqrt{b}, \ \ x_3=\sqrt{c},\ \ x_4=\sqrt{d} \ \ e \ \ \ y_1=\sqrt{1/a}, \ \ y_2=\sqrt{1/b}, \ \ y_3=\sqrt{4/c},\ \ y_4=\sqrt{16/d}$

Logo,

$(a +b +c + d).\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right ) \geq \left ( \sqrt{a}.\sqrt{1/a} +\sqrt{b}.\sqrt{1/b}+\sqrt{c}.\sqrt{4/c}+\sqrt{d}.\sqrt{16/d} \right )^2 \\ (a +b +c + d).\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right ) \geq \left ( 1+1+2+4 \right )^2\\ (a +b +c + d).\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right ) \geq 64$

Portanto,

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \geq \frac{64}{a+b+c+d}$

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