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por mari Ter Set 22 2015, 11:52
Considere a função: S(x) = 1 + 2sen x + 4(sen x) 2 + 8(sen x) 3 para x ∈R
a) Calcule S( π/3)
b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈[–2π, 2π]
gab.
a)4+4raiz 3
b)
a) Calcule S( π/3)
b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈[–2π, 2π]
gab.
a)4+4raiz 3
b)
mari- Estrela Dourada
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Re: UNICAMP
por ivomilton Ter Set 22 2015, 18:11
Boa noite, mapll.mapll escreveu:Considere a função: S(x) = 1 + 2sen x + 4(sen x) 2 + 8(sen x) 3 para x ∈R
a) Calcule S( π/3)
b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈[–2π, 2π]
gab.
a)4+4raiz 3
b)
S(x) = 1 + 2.senx + 4.sen²x + 8.sen³x
a) Calcule S(π/3)
π/3 = 180°/3 = 60°
sen(60°) = √3/2
S(π/3) = S(60°) = 1 + 2(√3/2) + 4(3/4) + 8(3√3/
= 1 + √3 + 3 + 3√3 = 4 + 4√3b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈[–2π, 2π]
Teria a seguinte equação do 3° grau para resolver:
S(x) = 0
8.sen³x + 4.sen²x + 2.senx + 1 = 0
Esta só consegui resolver pelo wolfram (ver link abaixo):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*sen%C2%B3x+%2B+4*sen%C2%B2x+%2B+2*sen+x+%2B+1+%3D+0
Um abraço.
ivomilton- Membro de Honra
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Re: UNICAMP
por Giovana Martins Sex Jan 04 2019, 23:56
Seja y=sen(x), dai: S(y)=1+2y+4y²+8y³.
\\S(y)=0\to 1+2y+4y^2(1+2y)=0\\\\(1+2y)+4y^2(1+2y)=0\to (1+2y)(1+4y^2)=0\\\\1+2y=0\ (1)\ \vee\ 1+4y^2=0\ (2)\\\\(1):\ 1+2sen(x)=0\to sen(x)=-\frac{1}{2}\ \therefore \ S_1=\left \{ -\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right \}\\\\(2):\ 1+4sen^2(x)=0\to sen(x)=\pm \sqrt{-\frac{1}{4}}\notin\mathbb{R}\ \therefore \ S_2=\o \\\\S=S_1\ \cup \ S_2\to \boxed {S=\left \{ -\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6} \right \}}
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Re: UNICAMP
por Elcioschin Sáb Jan 05 2019, 10:27
Outra solução, para quem não tiver a visão de fatoração da Giovana
8.y³ + 4.y² + 2.y + 1 = 0
Teorema das raízes racionais: As prováveis raízes racionais são ± 1, 1/2, 1/4, 1/8
Obviamente as prováveis raízes racionais serão negativas: - 1, -1/2, -1/4, -1/8
Testando, vê-se que y = -1/2 é raiz
Aplicando Briott-Ruffini, o novo quociente é y² + 2 = 0 ---> Raízes complexas (não servem)
8.y³ + 4.y² + 2.y + 1 = 0
Teorema das raízes racionais: As prováveis raízes racionais são ± 1, 1/2, 1/4, 1/8
Obviamente as prováveis raízes racionais serão negativas: - 1, -1/2, -1/4, -1/8
Testando, vê-se que y = -1/2 é raiz
Aplicando Briott-Ruffini, o novo quociente é y² + 2 = 0 ---> Raízes complexas (não servem)
Última edição por Elcioschin em Dom Jan 06 2019, 11:51, editado 1 vez(es)
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Re: UNICAMP
por Medeiros Dom Jan 06 2019, 00:17
Então fica mais simples fazer
2.sen(x) = t
assim
s(x) ---> s(t) = t³ + t² + t + 1 = 0
onde fica evidente que -1 é raiz. E s(t) fica
(t + 1).(t² + 1) = 0
2.sen(x) = t
assim
s(x) ---> s(t) = t³ + t² + t + 1 = 0
onde fica evidente que -1 é raiz. E s(t) fica
(t + 1).(t² + 1) = 0
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Re: UNICAMP
por Medeiros Dom Jan 06 2019, 10:59
Élcio
se 2.senx = t, então entendo que t³ = 8.sen³x, que é o termo de maior grau da eq do enunciado.
se 2.senx = t, então entendo que t³ = 8.sen³x, que é o termo de maior grau da eq do enunciado.
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