[Mecânica - Energia]

por RamonLucas Qua 02 Set 2015, 20:23

(Concurso de Admissão à Escola naval / CPAEN-2015. Prova: Rosa. Questão 27)

Considere dois corpos, A e B, de massas m_A = m e m_B=(500 Kg -m), respectivamente. Os corpos estão separados por uma distância fixa d. para que o módulo da energia potencial gravitacional do sistema seja a maior possível, o valor de m, em Kg, é

(A) 300
(B) 250
(C) 200
(D) 150
(E) 100

por CarlosArguilar Ter 15 Set 2015, 22:13

Epg=-(GmM)/d
Para que o módulo seja máximo devemos ter mM máximo:
m+M=500
Usando MA≥MG:
(m+M)/2 ≥ √mM
mM≤ 250²
Logo devermos ter m=M=250

por Augusto minha Qui 22 Jun 2017, 05:06

Não consegui entender a resolução. Por favor pode detalhar para melhor compreenção?

por **Willian Honorio** Sex 23 Jun 2017, 02:33

A solução do Carlos Arguilar foi bem especificada. Talvez você não conheça a Desigualdade das Médias para entender a solução e a condição para que o produto seja máximo. Uma outra relação, provinda também da Desigualdade das Médias:

$MG\geq MH\\\sqrt{ma.mb}\geq \frac{2}{\frac{1}{ma}+\frac{1}{mb}}\\\\\sqrt{ma.mb}\geq \frac{2ma.mb}{500}\\\\\sqrt{ma.mb}\geq \frac{ma.mb}{250}\\\\250^{2}ma.mb=ma^{2}.mb^{2}\\ma=mb\rightarrow ma=250$

por CarlosArguilar Sex 23 Jun 2017, 23:15

Augusto minha escreveu:Não consegui entender a resolução. Por favor pode detalhar para melhor compreenção?

O módulo da energia potencial gravitacional é dado por -(GmM)/d, em que G é a constante de gravitação universal, m e M são as massas dos corpos interagindo e 'd' é a distância entre o centro de massa desses objetos. Como G é uma constante e 'd' é um valor fixo de acordo com o enunciado, o único fator que altera o módulo da energia potencial nesse caso é o produto mM, assim para que tenhamos a energia potencial máxima devemos ter mM máximo. Agora vamos mostrar que o produto mM, quando m+M=500, é máximo quando m=M=250:
(√M-√m)²≥0 (um quadrado de um número real é sempre maior ou igual a zero)
M-2√mM+m≥0
(M+m)/2 ≥√mM, como m+M=500
250 ≥√mM
250² ≥mM
Em que a igualdade ocorre somente quando m=M=250.

por Felipe Dias Soares Sex 19 Jan 2018, 19:32

Gostaria de mostrar meu raciocínio e saber se está errado ou chegou ao resultado por coincidência.

Sendo a energia potencial dada por -GMm/d, defino uma função f(m)=Mm em que M=500-m.
Ficando f(m)=-m²+500m, o 'm' vértice -b/2a achamos o valor máximo da massa para que a energia potencial seja a maior possível já que G/d é constante sendo 'd' fixo.

por Felipe Dias Soares Qua 24 Jan 2018, 20:24

por **Willian Honorio** Dom 28 Jan 2018, 10:52

Perfeito, Felipe dias Soares. Há diversas formas de se resolver essa questão. Compartilho aqui uma outra:

Ep=-GMm/d
Ep(m)=-G(500-m).m/d
Ep(m)=Gm²/d-500.G.M/d

Para que a função Ep seja máxima, devemos achar o mínimo valor de m em Ep(m):

m=-(-500G/d)/2.G/d
m=250 kg

por Teodoro97en Qua 10 Abr 2019, 19:45

Olá... Decidi pensar assim. Se estiver errado , agradecerei se me corrigirem.
Tudo é constante, exceto a massa. Então para a energia potencial gravitacional ser maior, 500-M>=M ... Resolvendo a inequação. Temos que M=250.
Certo?

por **Leo Consoli** Qua 10 Abr 2019, 21:32

500-m>=m so significa que m não pode ser maior do que 250, mais não que é o valor da massa para o qual a energia potencial é máxima. Usar uma função ou a desigualdade das médias é mais direto.