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Função - AFA

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Mensagem por leonardo camilo tiburcio Qui 19 Fev 2015, 16:26

I- Se f é uma função real tal que f{a+b}=f{a}+f{b}, então f{a.b}=a.f{b}

Verdadeiro! 

Eu cortei as duas outras sentenças , pois já resolvi. Porém , a primeira sentença eu não entendi ! Alguém da uma força aí!  Função - AFA Icon_smile
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Função - AFA Empty Re: Função - AFA

Mensagem por Carlos Adir Qui 19 Fev 2015, 20:55

Não sabemos nenhum número que a função satisfaz. Contudo, podemos fazer:

Em geral temos(?):

provemos por indução que f(nx)=n . f(x)
Proposição f(nx)=n . f(x)
Fizemos acima pra n=0, n=2, n=3, todos satisfazem.
Por hipótese de indução temos:
f(nx)=n.f(x)
Então, se vale a hipótese temos:
f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=n.f(x)+f(x)=(n+1)(f(x))
Serviu.
Agora, façamos para n inteiro:

Temos então:

Agora, vamos achar para racionais:

Queremos provar que f[(p/q)x]=(p/q)f(x):

Já para os irracionais, não temos maneira de provar. Questão está meio incompleta, acho.

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Mensagem por Fito42 Qui 19 Fev 2015, 21:36

O enunciado não especificou os valores de "a" e "b" e nem determinou exceções, então pode-se chutar qualquer valor para eles (indução infinita):
a = 0
b = 1
f(0+1) = f(0) + f(1)

f(1) = f(0) + f(1)      


[i]f(0*1) = 0*f(1)

f(0) = 0                   [ii]


ii em i
f(1) = 0 + f(1)
f(1) = f(1) -----> Verdadeira


Minha resolução não é nenhum pouco formal como a do Carlos, mas para questões testes é válida



[/i]
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