Função - AFA

por leonardo camilo tiburcio Qui 19 Fev 2015, 17:26

I- Se f é uma função real tal que f{a+b}=f{a}+f{b}, então f{a.b}=a.f{b}

Verdadeiro!

Eu cortei as duas outras sentenças , pois já resolvi. Porém , a primeira sentença eu não entendi ! Alguém da uma força aí! Função - AFA Icon_smile

por **Carlos Adir** Qui 19 Fev 2015, 21:55

Não sabemos nenhum número que a função satisfaz. Contudo, podemos fazer:
$\\ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) \Rightarrow f(0)=0 \\ f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)\Rightarrow f(2x)=2f(x) \\ f(3x)=f(2x+x)=f(2x)+f(x)=3f(x)\Rightarrow f(3x)=3f(x)$
Em geral temos(?):
$n \in \mathbb{N} ; \ \ \ \ \ f(n)=n \cdot f(1)$
provemos por indução que f(nx)=n . f(x)
Proposição f(nx)=n . f(x)
Fizemos acima pra n=0, n=2, n=3, todos satisfazem.
Por hipótese de indução temos:
f(nx)=n.f(x)
Então, se vale a hipótese temos:
f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=n.f(x)+f(x)=(n+1)(f(x))
Serviu.
Agora, façamos para n inteiro:
$\\0=f(0)=f(nx-nx)=f((nx)+(-nx))=f(nx)+f(-nx) \\f(-nx)=-n \cdot f(x)$
Temos então:
$n \in \mathbb{Z}; \ \ \ \ \ \ \ f(nx)=n \cdot f(x)$
Agora, vamos achar para racionais:
$n = \dfrac{p}{q}; \ \ \ p, \ q \in \mathbb{Z}; \ \ q \ne 0$
Queremos provar que f[(p/q)x]=(p/q)f(x):
$\\ (I) \ \ f\left(\dfrac{p}{q}\cdot x \right )=p \cdot f\left(\dfrac{x}{q} \right ) \\ (II) \ \ f(x)=f\left(q \cdot \dfrac{x}{q} \right)=q \cdot f\left(\dfrac{x}{q} \right ) \\ (I) \ \ em \ \ (II) \\ \Rightarrow \dfrac{f(x)}{q}=\dfrac{f\left(\dfrac{p}{q} \cdot x \right )}{p} \Rightarrow f\left(\dfrac{p}{q} \cdot x \right )=\dfrac{p}{q}\cdot f(x)$
Já para os irracionais, não temos maneira de provar. Questão está meio incompleta, acho.

por **Fito42** Qui 19 Fev 2015, 22:36

O enunciado não especificou os valores de "a" e "b" e nem determinou exceções, então pode-se chutar qualquer valor para eles (indução infinita):
a = 0
b = 1
f(0+1) = f(0) + f(1)

f(1) = f(0) + f(1)

[i]f(0*1) = 0*f(1)
f(0) = 0 [ii]

ii em i
f(1) = 0 + f(1)
f(1) = f(1) -----> Verdadeira

Minha resolução não é nenhum pouco formal como a do Carlos, mas para questões testes é válida

[/i]

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