Progressão aritmética

por nandofab 17/2/2015, 1:46 pm

Calcule a soma : $\frac{1+2}{1^{3} + 2^{3}} + \frac{1+2+ 3}{1^{3} + 2^{3} + 3^{3}} + \frac{1+2 +3 +4}{1^{3} + 2^{3} + 3^{3 }+ 4^{3}} + ...$

Spoiler:

por nandofab 17/2/2015, 3:02 pm

Galera, eu achei que o somatório dos cubos de um k inteiro = 1 até n é igual a [ n(n+1)/2]² . Logo, cada parcela pode ser escrita como: 2 /k(k+1). Assim, teremos o seguinte:

2/2.3 + 2/3.4 + ...+ 2/n(n+1) = 2 [ (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/n+1) = 2 ( 1/2 - 1/n+1) = 1 - 2/ n + 1.

Logo, a resposta deveria ser 1, não?/ Quando n tende ao infinito, a segunda expressão tende a zero. No gabarito está 2 Sad

por nandofab 18/2/2015, 9:55 pm

Alguém ??

por **Carlos Adir** 18/2/2015, 10:20 pm

$\sum_{i=1}^{n}i^3=1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\dfrac{n(n+1)}{2} \right ]^2$
$\sum_{i=1}^{n}i=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Assim, podemos dizer:
$\\ S=\dfrac{1+2}{1^3+2^3}+\dfrac{1+2+3}{1^3+2^3+3^3}+\cdots+\dfrac{1+2+\cdots+n}{1^3+2^3+\cdots+n^3}= \\ S=\dfrac{\left(\dfrac{2(2+1)}{2} \right )}{\left[\dfrac{2(2+1)}{2} \right ]^2}+\dfrac{\left(\dfrac{3(3+1)}{2} \right )}{\left[\dfrac{3(3+1)}{2} \right ]^2}+\cdots+\dfrac{\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)}{\left[\dfrac{n(n+1)}{2} \right ]^2} \\ S=\dfrac{1}{\left(\dfrac{2(2+1)}{2} \right )}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{3(3+1)}{2} \right )}+\cdots+\dfrac{1}{\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right )} \\ S=\sum_{i=2}^{n}\dfrac{2}{i(i+1)}=2 \cdot \sum_{i=2}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}$

Agora, temos que:
$\\ \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{n}{n+1} \\ \sum_{i=2}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}+\dfrac{1}{1(1+1)}=\dfrac{n}{n+1} \\ \sum_{i=2}^{n}\dfrac{1}{i(i+1)}=\dfrac{n-1}{2(n+1)}$

Segue então:
$S=2 \cdot \dfrac{n-1}{2(n+1)}=\dfrac{n-1}{n+1}$

Então a resposta é 1, quando n for um número incrivelmente grande.

Talvez tenha o termo inicial que eles contaram, isto é:
(1)/(1³)=1
Ai somando com 1, dê a soma 2. Se a expressão acima estiver correta, então a resposta é 1, e não 2 como informa o gabarito.