Retas

Uma reta t passa pelo ponto A(-3,0) e é  tangente à parábola de equação x=3y2 no ponto P. Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações.

t:x-10y+3=0 e P(27, 3) A
t:2x-15y+6=0 e P(12, 2) B
t:y=0 e P(0, 0) C
t:2x+15y+6=0 e P(12, -2) D
t:x+6y+3=0 e P(3, -1) E << gabarito

- famílias de retas que passam pelo ponto A( - 3, 0 ):

y - o = m*( x - ( - 3 )) -> y = m*x + 3*m


- interseção com a equação da parábola x = 3*y² :

x = 3*( m*x + 3*m )²

x = 3*( m²*x² +  9*m² + 6*m²*x )

3*m² + (18*m² - 1)*x + 27*m² = 0

...... - (18m² - 1 ) (+/-) \/[18m² - 1)² - 324*m^4 ]
x = ----------------------------------------------------------
................................. 6*m²


se a reta é tangente à parábola então  o discriminante deve ser zero, daí:

(324*m^4 - 36*m² + 1 - 324*m^4) = 0

- 36*m² + 1 = 0 -> m = (+/-) 1/6

- para m = - 1/6 temos:


y = (- 1/6)*x + 3*( - 1/6 )

y = - (1/6)*x - ( 1/2 )

6y = - x - 3

x + 6y + 3 = 0 -> equação da tangente

- fazendo a interseção com a parábola temos:

y = - 1 e x = 3 -> P( 3, - 1 ))

eu não entendi muito bem essa parte (...... - (18m² - 1 ) (+/-) \/[(18m² - 1 )² - 324*m^4 )
x = -------------------------------------------------------
.............................. 6*m²)

é a resolução da equação do segundo grau em x ( bhaskara )

Eu entendi tudo menos , o m= - 1/6 por que ele tem que ser negativo e não positivo?

Olá x-salada,


Eu poderia usar os dois valores encontrados para "m", observe que ao substituir os valores em y = m*x + 3m obteríamos duas retas tangentes que passam pelo ponto (- 3, 0 ).

Ó gabarito apresentado só é obtido ao usarmos m = - 1/6

entendi , valeu!

Como daria pra fazer essa questão por derivada?

O coeficiente angular da reta tangente ao ponto P(c',c'') é igual a derivada de f nesse ponto i.e. seja t(x)=ax+b a equação da reta tangente, a=f'(c')

Alguém pode fazer uma resolução por meio de derivada? Também fiquei na dúvida, pq nesse caso o ponto de tangência não é conhecido.

Fiz que x' = 6y, logo m=6yp, sendo "yp" o a coordenada y do ponto de tangência.
Como a reta é dada por y=m(x+3), e o nosso m é 6yp, então y=6yp(x+3), mas a partir daí estagnei, até porque se adicionarmos o ponto dado (ponto A), apenas resultaremos que 0=0. Se colocarmos essa equação na parábola, fizermos que o ∆=0,etc, vai dar um "braço" equivalente à mesma resolução sem usar derivada. Não sei se fiz algo de errado ou se dá braço mesmo, tentei por derivada pq via de regra sai mais rápido nesse tipo de questão.