Retas em R3
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Retas em R3
por Julious3451 Qua 15 Dez 2021, 12:03
Considere dois numeros α, β ∈ R e as retas em R3
r1 : (x-1)/ −2 = y − 2 = (z − 3)/ −1 e r2 : X = (1, α, 3) + λ(β, 3, −3).
(a) Determine todos os α, β ∈ R tais que: r1 e r2 sejam paralelas e distintas.
(b) Determine todos os α, β ∈ R tais que: r1 e r2 sejam reversas.
(c) Determine todos os α, β ∈ R tais que: r1 e r2 sejam concorrentes (r1 ∩ r2 e um ponto).
r1 : (x-1)/ −2 = y − 2 = (z − 3)/ −1 e r2 : X = (1, α, 3) + λ(β, 3, −3).
(a) Determine todos os α, β ∈ R tais que: r1 e r2 sejam paralelas e distintas.
(b) Determine todos os α, β ∈ R tais que: r1 e r2 sejam reversas.
(c) Determine todos os α, β ∈ R tais que: r1 e r2 sejam concorrentes (r1 ∩ r2 e um ponto).
Julious3451- Iniciante
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Re: Retas em R3
por Emanuel Dias Qua 15 Dez 2021, 23:26
Olá.
Precisamos de apenas um ponto e um vetor para caracterizar uma reta concorda? O vetor é livre, passa a ser fixo quando escolhemos um ponto, e esse vetor fornece a direção da reta. Portanto, uma reta em 3 dimensões tem a seguinte cara:
[latex]P=P_0+\vec{v}t[/latex]
[latex]P=P_0+(x,y,z)t[/latex]
U vetor é caracterizado por três coordenadas, ou, como a soma de 3 vetores da base canônica, podemos escrever essa reta da seguinte forma:
[latex](x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(x,y,z)t[/latex]
Isto é:
[latex]\left\{\begin{matrix} x=x_0+ u_1t& & \\ y=y_0+u_2t& & \\ z=z_0+u_3t& & \end{matrix}\right.[/latex]
Se eliminarmos t do sistema obtemos:
[latex]\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}[/latex]
Poranto, por comparação, obtemos a seguinte equação de reta:
[latex]R=(1,2,3)+(-2,1,3)t[/latex]
Resta agora responder as perguntas
a) Quando duas retas são paralelas? Quando o vetor que as definem são paralelos, óbvio, então, precisamos que o vetor da reta R2 e o vetor que encontramos sejam múltiplo um do outro, para serem distintas, devem passam por pontos diferentes, então o ponto de uma tem que ser diferente do ponto de outra, tente terminar.
b) Essa condição, geometricamente é muito simples, mas se não visualizar geometricamente pode parece uma fórmula sem sentido. Primeira coisa. O determinante de 3 vetores calcula o volume do paralelepípedo gerado por eles (Leve isso por todo curso de geometria analítica, é importante, sério). Pense comigo, quando que o determinante de 3 vetores é zero? Quando o volume do paralelepípedo é zero, não é mesmo? Então, precisamos formar um paralelepípedo de volume diferente de zero para garantir que não sejam coplanares, veja a figura:
As duas retas são exemplos de retas reversas, vamos construir o vetor que parte de um ponto de uma e chega em um ponto de outra:
[latex]\vec{u}=(1-1,a-2,3-3)=(0,a-2,0)[/latex]
Basta tomar um ponto menos o outro, por fim, precisamos que o volume do paralelepípedo
[latex]V=\begin{vmatrix} 0 &a-2 &0 \\ \beta &3 &-3 \\ -2 &1 &3 \end{vmatrix} \neq 0[/latex]
Basta resolver a equação, lembrando que nesse caso, beta deve ser tal que o vetor de uma reta não seja paralelo ao vetor da outra. Isso garante a reversidade.
Na figura, desenhei o paralelepípedo de um dos casos de reta reversa, veja que de fato é diferente de zero o determinante, pois o volume é zero, se o volume fosse zero, concluiríamos que os 3 vetores são LD, logo não podem ser reversas.
c) Pelo mesmo argumento, agora, fazer o determinante acima ser igual a zero garante que as retas estão no mesmo plano. Mas ainda podem ser PARALELAS! Então, precisamos garantir que um vetor não seja paralelo ao outro
.
Tente encontrar os valores, qualquer coisa me fala, abraços.
Precisamos de apenas um ponto e um vetor para caracterizar uma reta concorda? O vetor é livre, passa a ser fixo quando escolhemos um ponto, e esse vetor fornece a direção da reta. Portanto, uma reta em 3 dimensões tem a seguinte cara:
[latex]P=P_0+\vec{v}t[/latex]
[latex]P=P_0+(x,y,z)t[/latex]
U vetor é caracterizado por três coordenadas, ou, como a soma de 3 vetores da base canônica, podemos escrever essa reta da seguinte forma:
[latex](x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+(x,y,z)t[/latex]
Isto é:
[latex]\left\{\begin{matrix} x=x_0+ u_1t& & \\ y=y_0+u_2t& & \\ z=z_0+u_3t& & \end{matrix}\right.[/latex]
Se eliminarmos t do sistema obtemos:
[latex]\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}[/latex]
Poranto, por comparação, obtemos a seguinte equação de reta:
[latex]R=(1,2,3)+(-2,1,3)t[/latex]
Resta agora responder as perguntas
a) Quando duas retas são paralelas? Quando o vetor que as definem são paralelos, óbvio, então, precisamos que o vetor da reta R2 e o vetor que encontramos sejam múltiplo um do outro, para serem distintas, devem passam por pontos diferentes, então o ponto de uma tem que ser diferente do ponto de outra, tente terminar.
b) Essa condição, geometricamente é muito simples, mas se não visualizar geometricamente pode parece uma fórmula sem sentido. Primeira coisa. O determinante de 3 vetores calcula o volume do paralelepípedo gerado por eles (Leve isso por todo curso de geometria analítica, é importante, sério). Pense comigo, quando que o determinante de 3 vetores é zero? Quando o volume do paralelepípedo é zero, não é mesmo? Então, precisamos formar um paralelepípedo de volume diferente de zero para garantir que não sejam coplanares, veja a figura:
As duas retas são exemplos de retas reversas, vamos construir o vetor que parte de um ponto de uma e chega em um ponto de outra:
[latex]\vec{u}=(1-1,a-2,3-3)=(0,a-2,0)[/latex]
Basta tomar um ponto menos o outro, por fim, precisamos que o volume do paralelepípedo
[latex]V=\begin{vmatrix} 0 &a-2 &0 \\ \beta &3 &-3 \\ -2 &1 &3 \end{vmatrix} \neq 0[/latex]
Basta resolver a equação, lembrando que nesse caso, beta deve ser tal que o vetor de uma reta não seja paralelo ao vetor da outra. Isso garante a reversidade.
Na figura, desenhei o paralelepípedo de um dos casos de reta reversa, veja que de fato é diferente de zero o determinante, pois o volume é zero, se o volume fosse zero, concluiríamos que os 3 vetores são LD, logo não podem ser reversas.
c) Pelo mesmo argumento, agora, fazer o determinante acima ser igual a zero garante que as retas estão no mesmo plano. Mas ainda podem ser PARALELAS! Então, precisamos garantir que um vetor não seja paralelo ao outro
. Tente encontrar os valores, qualquer coisa me fala, abraços.
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