Limite da Função composta

por L.Lawliet Sex 12 Dez 2014, 19:28

Seja ƒ definida em ℝ e seja "p" um real dado. Suponha que $\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=L$ .Calcule

a) $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$

b) $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p+3h)-f(p)}{h}$

c) $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{h}$

d) $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p-h)-f(p)}{h}$

Resposta: 3; 3L ;2L ;-L respectivamente

por Man Utd Seg 15 Dez 2014, 11:46

Olá

a) faça u=p+h , h->0,u->p :

$\\\\\\ \lim_{u \to p} \; \frac{f(u)-f(p)}{u-p}=L$

c)

$\\\\\\ \lim_{h \to 0} \; \frac{f(p+h)-f(p-h)}{h} \\\\\\ \lim_{h \to 0} \; \frac{f(p+h)-f(p)-f(p-h)+f(p)}{h} \\\\\\ \lim_{h \to 0} \; \frac{f(p+h)-f(p)-f(p-h)+f(p)}{h} \\\\\\ \lim_{h \to 0} \; \frac{f(p+h)-f(p)}{h}-\lim_{h \to 0} \;\frac{f(p-h)-f(p)}{h}$

Veja que o primeiro limite já calculamos que é "L", agora no segundo faça a substituição "u=p-h ,h->0,u->p :

$\\\\\\ L-\lim_{u \to p} \;\frac{f(u)-f(p)}{p-u} \\\\\\ L+\lim_{u \to p} \;\frac{f(u)-f(p)}{u-p} =L+L=2L$

Tente fazer o restante.

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