Demonstração Limite de função Composta

Estou estudando cálculo por conta e me deparei com esse teorema, o qual não consigo entender a demonstração.
Alguém poderia me explicar esse teorema?

Ele demonstrou a partir da definição de limite, com deltas e epsilons, mas acho que ficou meio confuso porque ele fez alguns passos implicitamente.

Definição de limite de função:
lim_{x->p} f(x) = a <=> para todo epsilon > 0 existe delta > 0 tal que 0 < |x-p| < delta implica em |f(x)-a| < epsilon

Em (1) ele apenas aplica a definição a partir da premissa de que o limite de g(u) quando u vai a a é L. (Tem um erro tipográfico ali, ele botou x->a em vez de u->a.)

Em (2) ele faz a mesma coisa, mas usa o delta ligado ao anterior (o delta1) como epsilon desse outro.

O (3) é só um detalhe técnico, porque se f(x)=a não haverá garantia de que o limite que vem depois existe (o limite da composta). Porque em (1) temos 0 < |u-a| como uma das condições, e se u=a isso não é verdade. Por isso ele exigiu que em algum intervalo em torno de p f(x) seja diferente de a (exceto possivelmente em f(p)) como uma das premissas.

Tomando o delta como o mínimo entre delta2 e r ele obtém não apenas que |f(x)-a| < delta1, mas que 0 < |f(x)-a| < delta1.

No final ele junta (3) e (1) para obter:
(3) 0 < |x-p| < delta => 0 < |f(x)-a| < delta1
(1) 0 < |u-a| < delta1 => |g(u)-L| < epsilon
(Fazendo u=f(x).)
(1) 0 < |f(x)-a| < delta1 => |g(f(x))-L| < epsilon
(Transitividade da implicação.)
(3) e (1): 0 < |x-p| < delta => |g(f(x))-L| < epsilon

Assim, foi demonstrado que para todo epsilon > 0 existe um delta > 0 tal que... o condicional acima é verdadeiro.

Ou seja, lim_{x->p} g(f(x)) = L, pela própria definição de limite.

Nas minhas aulas eu vi a exigência sendo feita diferente. Se exigirmos que g seja contínua não precisamos nos preocupar com f(x)=/=a, porque aí g(a)=L e podemos fazer direto:
lim_{x->p} g(f(x)) = g(lim_{x->p} f(x))