Um triângulo ABC

Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se ainda que AB é diâmetro, BC mede 6 e a bissetriz do angulo A^BC intercepta a circunferência no ponto D. Se x é a soma das áreas do triângulos ABC e ABD é y a área comum aos dois,o valor de x-2y é:

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

Resposta: A

O triângulo ABC é retângulo em C (inscrito numa semi-circunferência)

AB = 2.R ---> AB = 10

AC² = AB² - BC² ---> AC² = 10² - 6²  ---> AC = 8

S(ABC) = AC.BC/2 ---> S(ABC) = 8.6/2 ---> S(ABC) = 24 

Seja A^BC = x ----> A^BD = A^BC/2 ---> A^BD = x/2

Lei dos senos ----> 10/sen90º = 8/senB ---> senB = 0,8 ---> cosB = 0,6

cosB = 2.cos²(B/2) - 1 ---> 0,6 = 2.cos²(B/2) - 1 ---> cos²(B/2) = 0,8 ---> sen²(B/2) = 0,6 

Triângulo ADB é retângulo em D (inscrito na semi-circunferência)

AB.cos(B/2) = BD ----> BD = 10.√0,8 

S(ABD) = AB.BD.sen(B/2)/2 ---> S(ABD) = 10.(10.√0,8 ).(√0,6)/2 ---> S(ABD) = 20.√3

x = S(ABC) + S(ABD) ----> x = 24 + 20.√3

Para achar  área comum entre os dois pontos, seja M o ponto de encontro da reta AC com a reta BD:

1) Escreva  a equação da reta AC com m = 3/4, passando por A ---> tgBÂC = BC/AC = 6/8 = 3/4
2) Escreva a equação da reta BD om m = - 1/2, passando por B --->

tg(A^BC) = tgB = 4/3 ---> tgB = 2.tg(B/2)/[1 - tg²(B/2)] ---> 4/3 = 2.tg(B/2)/[1 - tg²(B/2)] ---> tg(B/2) = 1/2 

Encontre as coordenadas do ponto M e calcule y = S(AMD)

Calcule x - 2y

outro modo, por GP.


X = S_ABC + S_ABD
Y = S_ABE
X - 2Y = ?

∆ABC e ∆ABD inscritos numa semicircunferência ----> são retângulos.
AC² = AB² - BC² = 10² - 6² -----> AC = 8

teor. bissetriz interna ∆ABC:
AB/AE = BC/CE -----> 10/AE = 6/CE -----> AE/CE = 5/3 -----> AE/(AE+CE) = 5/(5+3) -----> AE/AC = 5/8
AE = (5/8 )*8 -----> AE = 5 -----> CE = 3

S_ABC = 6*8/2 = 24

S_BCE = 3*6/2 = 9 -----> S_ABE = 24 - 9 -----> Y = S_ABE = 15

∆EBC ~ ∆EAD ----> AD/6 = 5/BD = ED/3 -----> AD = 2.ED

∆ADE: 5² = AD² + PD² -----> 25 = 4.ED² + ED² -----> ED = √5 -----> AD = 2√5

S_ADE = 2√5*√5/2 = 5

S_ABD = S_ADE + S_ABE = 5 + 15 -----> S_ABE = 20

X = S_ABC + S_ABD = 24 + 20 -----> X = 44

X - 2Y = 44 - 2*15 -----> X - 2Y = 14