Considere todos os pontos...

Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertençam a circunferência de equação x² +y²-6x-6y+14=0.
Determine o menor valor possível de y/x

Grato, sem resposta.

X^2-6x+Y^2-6Y+14=0

Completando os quadrados temos que a equação da circunferência desejada é

(x-3)^2+(y-3)^2=4, ou seja uma circunferência de centro em (3;3) e raio igual a 2,
conforme figura acima. Vemos que se percorrermos a circunferência no sentido anti-horário partindo de (5;3) há um crescimento da relação y/x no primeiro e segundo quadrante, no terceiro decai até (3;1) e depois volta a crescer.

Resposta: ponto (3;1) = 0,33333333333333

até... Eres Alessandro.

Eres,
é quase isso.
Considere, por exemplo, o ponto da esfera que fique num ângulo de -60º. Teremos:

y = 3 - 2.cos30º = 3 - 2.√3/2 = 3 - √3
x = 3 + 2.sen30º = 3 + 2.1/2 = 4

y/x = (3-√3)/4 ≈ 0,32
portanto, menor do que o valor obtido quando y é mínimo.

Medeiros, será que você pode explicar melhor sua solução?  ficou meio vaga.

Medeiros escreveu:Eres,
é quase isso.
Considere, por exemplo, o ponto da esfera que fique num ângulo de -60º. Teremos:

y = 3 - 2.cos30º = 3 - 2.√3/2 = 3 - √3
x = 3 + 2.sen30º = 3 + 2.1/2 = 4

y/x = (3-√3)/4 ≈ 0,32
portanto, menor do que o valor obtido quando y é mínimo.

Olá Medeiros, minha solução está incorreta, pensei que era uma simples questão de encontrar a equação da "bendita" e fazer alguns testes de tendência... Mas agora estou encafifado... Vou tentar descobrir como você chegou nesses pontos...De qualquer forma, obrigado por me apontar o erro....

Eres,
não vejo a sua solução incorreta, vejo-a apenas incompleta. Eu também raciocinei assim no início. Mas se observarmos, andando sobre a circunferência no sentido anti-horário a partir do ponto (3, 1), inicialmente y cresce pouco e x cresce relativamente muito, devido à curvatura do círculo. Isto ajuda a diminuir a relação y/x, conforme queremos. Com certeza, a menor relação y/x está no 4º quadrante.

Jango,
não tenho uma solução e não consegui resolver.
O que fiz foi, aproveitando o bom início do Eres, provocar apresentando a consideração de que existem outros pontos cuja relação y/x é menor do que 1/3. Tomei como exemplo o ponto para um ângulo de -60º porque, para ele, temos de cabeça o valor do seno e cosseno.

Na verdade, o ângulo que dá a mínima relação y/x será aproximadamente -73,126º. E neste caso,
y/x ~= 1,08611/3,58055 = 0,30334
Mas este valor achei-o por experimentação. E isto não tem qualquer valor matemático!!!

Olá pessoal,

Estou acompanhando com interesse esta questão, pesquisei na internet algo parecido e encontrei a solução incompleta
dado por um curso. Na citada questão é pedida o máximo de y/x.

Utiliza uma  reta y = mx onde m = y/x, daí calcula-se a tangente à circunferência tomando-se a de maior coeficiente angular.

No nosso caso tomaremos a de menor coeficiente.



Obs: Não sei se estou viajando.

Jose Carlos escreveu:Obs: Não sei se estou viajando.

Viajando, não. Acho que eu sugeri algo na mesma linha. Conhecida a circunferência, temos x e y positivos e queremos o menor y, tal que y < x. O menor y pertence tangente paralela ao eixo x.

Tem toda razão amigo.