[RIHAN - 2012] Um Ponto. Dois Pontos: Três Pontos...

Um Ponto é uma abstração genial da mente humana !

Como os nossos sentidos quase sempre nos enganam, a razão, isto é, a lógica, surge como única alternativa, já dizia nosso gigante René Descartes.

O Ponto foi definido como "aquele que não tem partes nem dimensões".

Então ele não "existe" !

Não podemos ver O Ponto :cyclops: :evil: ...

Como tudo que não existe precisa de uma representação, usamos um ponto (.) para representar "O" "Ponto" !



Atualmente tudo está engordando, até o Ponto engordou e vem sendo representado por pequenos discos... :arrow: :!:

Trabalhar com "O" "Ponto" no Plano exige 2 Pontos.

Obviamente que há recursividade nisso aí, mas deixa prá lá...

No Espaço, já são 3 Pontos e no espaçotempo são 4 Pontos !

Como na Natureza tudo que existe está no espaçotempo, como representar tudo em 4 dimensões é trabalhoso, como gostamos de simplificar, tiramos uma "foto" da realidade e paramos o tempo.

Com isso reduzimos uma dimensão, ficando com três, nosso R³ ou E³.

Muitas coisas acontecem em 2 dimensões, e, em certos casos hipotéticos ideais, em uma só dimensão.





São as coordenadas ditas "cartesianas", em homenagem ao Descartes, o inventor.

Tem gente que chama o Ponto P de "par ordenado P(x;y)".

Outros de "VETOR PO(x;y)" ou "VETOR P(x;y)" somente ou "VETOR P - O" (notação de Grassmann)

A palavra "vetor" significa "transportador", "aquele que leva".

"Leva" o Ponto O(0; 0) ao ponto P(x; y) e, por isso, é representado por uma seta, indicando a direção do "transporte":



A necessidade da invenção do VETOR era enorme !

Quase nada na Natureza pode ser representado somente por um número Natural, execetuando-se as razões, as proporções, as escalas.

Inventou-se os Inteiros para termos noção de direção.

Mas só servia em uma dimensão: direita ou esquerda de uma reta.

Inventou-se os VETORES para termos a noção de direção em 2 ou 3 dimensões e representarmos melhor a realidade.

Olhando pra ele temos a noção de "tamanho" ou "grandeza" ou "intensidade" ou "distância" ...

Para quantificarmos essa noção usamos o COMPRIMENTO do segmento OP, ou a DISTÂNCIA entre O e P, ou o MÓDULO da diferença |P-O| ou |O-P|.

| P | = P = √( x² + y²)

Também temos a noção da "direção". Para quantificá-la usamos o ângulo que o VETOR faz com o vetor X ou sua tangente trigonométrica.

Podemos então representar um vetor pelo seu "tamanho" (MÓDULO") e seu ângulo, ângulo entre ele e X, que é o menor ângulo (de 0° até 180°) que se rotaciona X até chegar a P, respeitando-se a convenção trigonométrica (anti-horário é POSITIVO).

P(x; y) = P( P; ang(P,V) ) = P( P; a)



Podemos transformar uma forma na outra:

x = P.cos(a)

y = P.sen(a)

a = atg(y/x)

P² = x² + y²

As operações e a álgebra a ser usada são quase as mesmas para as grandezas ditas ESCALARES ( uma só dimensão ).

Soma (Diferença) são iguais, só que feitas "dimensão por dimensão", obviamente:

P(x_P; y_P) + Q(x_Q; y_Q) = S(x_P+x_Q; y_P+y_Q)

Podemos calcular o módulo da soma entre P e Q por:

S =|P + Q| = P² + Q² + 2P.Q.cos(a)

Onde "a" é o ângulo entre os vetores P e Q.

Multiplicação de um escalar pelo VETOR é igual, dimensão a dimensão:

e.V(x_V; y_V) = M(e.x_V; e.y_V).

Os vetores V e M são ditos PARALELOS se "e" for POSTIVO. ANTI-PARALELO, caso contrário

M = e.V ⇔ M // V (paralelos) se e ≥ 0 ou M \\ V (anti-paralelos) se e < 0 .

Existe o VETOR NULO ou VETOR ZERO 0(0;0) "igualzinho" ao nosso escalar "0":

V + 0 = V

O vetor 0 é paralelo a qualquer vetor :face:.

Temos também o "simétrico" ou "oposto":

(-1).V(x_V; y_V) = –V(-x_V; -y_V)

Que são anti-paralelos :face: .

Podemos representar P(x; y) também como uma soma:

P = x + y

Ou ainda como uma combinação linear de vetores unitários, ou "VERSORES", que são aqueles que têm módulo unitário.

A maioria dos autores chamam de:

Vetor i (1; 0; 0): versor na direção X

Vetor j (0; 1; 0): versor na direção Y

Vetor k (0; 0; 1): versor na direção Z

Assim:

P (x; y; z) = x.i + y.j + z.k <------- COMBINAÇÃO LINEAR !!!

CONTINUA >>>>>>>> ...

Dois Pontos distintos determinam uma reta :face:.

Três Pontos não colineares ( que não pertencem à mesma reta ) determinam um plano :face:.



Quando pensamos no Ponto como VETOR, nossas descobertas terão que ser ditas de outra forma....

Um VETOR determina uma reta.

Um Ponto determina um VETOR em relação à origem de um sistema de coordenadas (referencial).

Dois PONTOS distintos determinam um VETOR  (P - O = P,   P - Q = PQ, ...)

Dois VETORES não paralelos determinam um plano.

E muito mais...

Para melhorar ainda mais a invenção dos VETORES, foram definidas NOVAS operações e álgebra:

PRODUTO ESCALAR

Sejam P(x_P; y_P) e Q(x_Q; y_Q) :

P.Q  ≡ x_P.x_Q + y_P.y_Q

Que pode ser calculado também como:

P.Q  = P.Q.cos( ang(P,Q) )

Ou, mais simplesmente:

P.Q  = P.Q.cos( a )

Onde "a" é o ângulo entre os vetores P e Q.

Coisas interessantes:

a) O produto escalar resulta num escalar :face: !

b) P.P = x_P.x_P + y_P.y_P = x²_P + y²_P = P²

c) P.P = P.P.cos(0°) = P²

d) Se P (x; y) for PERPENDICULAR (Ortogonal em R³) a Q (v; w) então:

P.Q = P.Q.cos(90°) = = P.Q.0 = 0

P.Q = x.v + y.w = 0  ⇒ x.v = -y.w

e)O Vetor Nulo é perpendicular a qualquer vetor :face: !


PRODUTO VETORIAL

Bem, fica para uma outra vez  !


Por enquanto é suficiente para a questão seguinte:


Sejam 3 PONTOS ou VETORES P(a; b),  Q(c; d) e R(e; f).

a) Quais as condições para serem colineares ?

Spoiler:

b) Quais as condições para determinarem um plano ?

Spoiler:

c) Quais as condições para um 4° Ponto X(x; y) formar com P, Q e R um paralelogramo ?

Spoiler:

e) Quando este paralelogramo será um retângulo ?

f) Quando este paralelogramo será um losango (pipa) ?

g) Quando este paralelogramo será um quadrado ?





Saudações Analíticas !

E Vamos Lá ! !

Vamos tal qual Jack, o Estripador: por partes.

a) Quais as condições para serem colineares ?

A priori, de acordo com o que foi explicado até aqui, pode-se dizer que três pontos serão colineares se, e somente se, o ângulo entre dois vetores consecutivos for 0° (ou 180°).



É por aí?

É por aí ...

Coloquei os spoilers ...

:study:

Vamos agora calmamente pensar sobre o vetor recém-inventado... :scratch:

Se:

A = (1; 2)

B = (3; 4)

B - A =  BA = (2; 2)

Se:

A' = (2; 3)

B' = (4; 5)

B' - A' = B'A' = (2; 2)

...

E aí vai...

Podemos pensar então que todos os vetores  do "tipo BA" tem o mesmo módulo , mesma direção (paralelos) e, obviamente, as mesmas coordenadas.

Então podemos definir VETOR de uma forma mais abrangente:

V (x; y)  = { Vi | Vi = (x; y) }

Que, geometricamente significaria que :

VETOR é o CONJUNTO de todos os segmentos orientados de mesmos módulos e direções (paralelos).

Estamos começando a trabalhar com coleções em vez de trabalhar com só um escalar.

Para diferenciar uma coleção de mais do que um elemento, diferenciamos a variável através de um ressalto qualquer.

Aqui estamos usando o "BOLD" para isso:

X: representa um só escalar.

X: representa uma coleção.

Pode-se usar setas em cima da variável, traços em baixo, o que for, para se diferenciar uma coisa só de uma coleção de coisas.

Na escrita manual muitos usam um "TIL" (~) "sublinhando" a variável por ser mais rápido e sintético para se escrever.

A mente humana logo quer estender mais as idéias.

Apesar de terem se desenvolvidos separadamente, VETORES e MATRIZES são a mesma coisa..., sendo o VETOR uma MATRIZ particular, ou coluna (n por 1), ou linha... (1 por n).

Aí as pessoas começaram a ganhar tempo, fazendo operações e álgebras com coleções de coisas, não somente com uma de cada vez.

Estendeu-se os conceitos, operações e álgebras para qualquer dimensão, libertando-se do limitante R³ para um ilimitado Rⁿ...

O poder de síntese e operacionalidade das MATRIZES é enorme !

MATRIZES E VETORES  e suas adaptações passam então a serem utilizados em todas as áreas.

Na Física, na Matemática, na Química, Biologia, Estatística... enfim, qualquer área que necessite de quantificação.

O Século XX se inicia esplendoroso e cheio de esperança e descobertas !

Os que pensam e calculam agora tem uma nova caixa de ferramentas ! De primeira qualidade, para trabalharem com enormes coleções de variáveis e características !

Infelizmente o Ensino não acompanhou o ritmo...
Vamos aprender sobre a ferramenta imprescindível muito tarde, sabe-se lá o porquê dessa bobagem...

Quando nos atemos à SOMA de VETORES, verificamos que podemos melhor visualizar a operação  graficamente, o que é muito útil em se tratando de Física,  Mecânica especialmente.

Dois VETORES podem ser somados assim:



Que alguns chamam "rabo-com-rabo"   ou "Regra do Paralelogramo".


Três ou mais VETORES podem ser somados de pelo menos duas maneiras:



Que chamam por aí de "ponta-com-rabo" ou poligonal...

Ou decompondo-se os VETORES em componentes verticais e horizontais, somando-as, resumindo-se a uma soma de DOIS VETORES, tipo "rabo-com rabo":



S² =  Sx² + Sy²

tg(a) = Sy/Sx

Matematicamente, pela definição, o VETOR É LIVRE !

Na Física, muitas vezes não...

Mas é melhor pra gente   que ele seja "fixo", tenha um ponto de aplicação definido e fixo e não um VETOR zonzo, podendo estar em qualquer lugar se se mantiver a condição de paralelismo...



CONTINUA >>> ...